{"id":941,"date":"2006-03-31T00:00:00","date_gmt":"2006-03-30T22:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"941","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/941\/","title":{"rendered":"Esiste una funzione definita da 0 a +infinito, limitata (con asintoto orizzontale), non periodica, che restituisce valori non trascendenti (quindi appartenenti all’insieme Q, dei numeri razionali)?"},"content":{"rendered":"

La risposta \u00e8 affermativa, anche se va fatta una precisazione, in quanto dalla domanda pare che ci sia un po’ di confusione. La precisazione \u00e8 riferita alla struttura dei numeri reali, e pi\u00f9 precisamente, ai sottoinsiemi numerici fondamentali. Per semplicit\u00e0 arriviamo direttamente al punto: l’insieme R dei numeri reali \u00e8 unione disgiunta dei numeri razionali Q e dei numeri irrazionali I. Tra i numeri irrazionali per\u00f2 ve ne sono alcuni che assomigliano ancora ai razionali, e altri che invece sono completamente estranei. Quindi una suddivisione diversa di R pu\u00f2 essere fatta da numeri algebrici e numeri trascendenti, la cui unione disgiunta fornisce ancora R. I numeri algebrici sono quei numeri\u00a0reali che sono soluzioni di equazioni algebriche a coefficienti interi, ovvero equazioni della forma p(x)=0, con p polinomio a coefficienti in Z. Dunque Q risulta essere sottoinsieme dell’insieme dei numeri algebrici.<\/span><\/font><\/p>\n

Tutto questo per dire che quando si dice numero trascendente non si intende semplicemente un numero non razionale, bens\u00ec un numero non algebrico. Esempi di numeri algebrici non razionali sono\u00a0le radici quadrate di numeri interi, le radici cubiche, ecc…<\/span><\/font><\/p>\n

Premesso ci\u00f2\u00a0<\/span><\/font>l’idea della costruzione \u00e8 questa: consideriamo una successione monotona crescente di razionali xn\u00a0<\/sub>\u00a0 (o algebrici per quanto visto) con 0 < xn<\/sub> <1, convergente a 1; allora consideriamo la funzione f definita da
\"\"<\/p>\n

f\u00a0 \u00e8 una funzione costante a tratti, non decrescente, limitata con asintoto orizzontale y=1; non \u00e8 periodica e la sua immagine \u00e8 costituita dall’insieme {xn<\/sub> : n naturale}, che \u00e8 sottoinsieme di Q<\/span>. Ne segue che f verifica le condizioni richieste.<\/p>\n

Ora alcune osservazioni. Anzitutto un’osservazione di struttura: l’esistenza della successione xn<\/sub>; l’insieme dei numeri razionali Q<\/span> costituisce un insieme denso nell’insieme dei numeri reali R<\/span>, per cui per ogni x reale esiste una successione xn<\/sub> di razionali convergente ad x. <\/span><\/font><\/p>\n

Una seconda osservazione, pi\u00f9 per specialisti e pi\u00f9 profonda, a mio avviso, riguarda la possibilit\u00e0\u00a0 di costruire funzioni che verificano quanto richiesto, ma meno banali di una funzione costante a tratti. Il punto della questione \u00e8 che se uno richiede un minimo di continuit\u00e0 della funzione, che non sia costante a tratti, allora non \u00e8 possibile costruire un esempio. Questo discende da un altro fatto strutturale degli insiemi numerici: presi due reali qualsiasi, c’\u00e8 sempre un numero trascendente tra di essi. Infatti, se denotiamo con x<y i due numeri reali dati, allora l’intervallo [x,y] ha la cardinalit\u00e0\u00a0 del continuo, mentre sappiamo che i numeri algebrici sono in quantit\u00e0\u00a0 numerabile. Essendo l’insieme dei numeri trascendenti il complementare dell’insieme dei numeri algebrici, si ha l’asserto. Si conclude l’osservazione facilmente, ora: se f fosse continua in [x,y] con x<y e con f(x)<f(y) (per esempio), allora per il Teorema dei valori intermedi f assumerebbe tutti i valori tra f(x) ed f(y), e quindi l’immagine di f conterrebbe almeno un numero trascendente.
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