{"id":937,"date":"2006-04-11T00:00:00","date_gmt":"2006-04-10T22:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"937","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/937\/","title":{"rendered":"Ho letto che i numeri come 0,1,2… rappresentano dei punti isolati per N.\r\ncome si pu\u00f2 spiegare che +∞ rappresenta punto di accumulazione per N?"},"content":{"rendered":"

Occorre anzitutto precisare la nozione di punto di accumulazione e punto isolato in R<\/span>; per\u00a0questo \u00e8\u00a0sufficiente
dare la definizione di intorno di un punto x reale.<\/p>\n

Diciamo che U sottoinsieme di R<\/span>\u00a0\u00e8 intorno di x se esiste c>0 con (x-c,x+c) contenuto in U: stiamo dunque chiedendo che gli intorni di x siano o intervalli centrati in x o, pi\u00f9 in generale, insiemi che
contengano almeno un intervallo centrato in x.<\/p>\n

La definizione di intorno si estende anche nell’insieme R<\/span>e<\/sub>che viene definito come R <\/span>a cui si uniscono due elementi, che sono +infinito e -infinito, che indicheremo nel seguito con +inf e -inf.
Diremo che U \u00e8\u00a0intorno di +inf se U contiene un intervallo della forma (M,+inf] per un certo
M reale, diremo invece che U \u00e8 intorno di -inf se U contiene un intervallo della forma [-inf,N) per un certo N reale. La nozione di intorno vuole, in un qualche modo, rappresentare i punti “vicini” ad un punto assegnato.<\/p>\n

Sia ora X generico sottoinsieme di R<\/span>e<\/sub>, e sia x un suo elemento; diciamo che x \u00e8 di accumulazione per
X se ogni intorno U di x interseca l’insieme X-{x}. Questo\u00a0significa che in X vi sono punti vicini quanto vogliamo ad
x, diversi da x stesso. Ad esempio, sia X=(a,b); allora x=a \u00e8 punto di accumulazione per X. Infatti se U \u00e8 intorno
di a, allora U contiene un intervallo della forma (a-c,a+c) per un certo c>0, e (a-c,a+c) ha intersezione non vuota con (a,b)-{a}=(a,b).
Osserviamo che nella definizione di punto di accumulazione non si richiede che x appartenga ad X.<\/p>\n

Diremo invece che x elemento di X \u00e8 isolato per X se esiste un intorno U di x tale che l’intersezione tra U e X \u00e8 solamente il singoletto {x}. Ad esempio, sia X=[0,1] u {2}; allora x=2 \u00e8 punto isolato per X. Infatti sia U=(2-1\/2,2+1\/2);
allora U \u00e8 intorno di x=2 ma l’intersezione tra U e X \u00e8 ridotta all’insieme {2}.<\/p>\n

Veniamo finalmente all’applicazione di nostro interesse; sia X=N<\/span>, insieme dei numeri naturali. Allora ogni numero naturale n \u00e8 punto isolato per N<\/span>; infatti sia U=(n-1\/2,n+1\/2); allora U \u00e8 intorno di x=n ma U ha solamente {n} come intersezione con N<\/span>. Inoltre +inf \u00e8 punto di accumulazione per N<\/span>, infatti se U \u00e8 intorno di +inf, allora intanto possiamo supporre\u00a0 U=(M,+inf] per un certo M reale; sia ora n>M, con n naturale. Allora n sta in U, che dimostra che l’intersezione tra U ed N<\/span> non \u00e8 vuota. (A rigore sarebbe da controllare che l’intersezione tra U e N<\/span>-{+inf} non \u00e8 vuota, ma +inf per definizione non appartiene ad N<\/span>). Naturalmente -inf non \u00e8 punto di accumulazione per N<\/span>, dal momento che, per esempio, l’intorno di -inf dato da [-inf,-1) non ha intersezione con N<\/span>.<\/p>\n


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