{"id":931,"date":"2006-04-11T00:00:00","date_gmt":"2006-04-10T22:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"931","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/931\/","title":{"rendered":"Vorrei sapere come \u00e8 possibile dimostrare matematicamente che i numeri Irrazionali sono densi nella retta dei numeri Reali e quindi tra due numeri Reali ci siano sempre sia un numero Razionale sia uno Irrazionale."},"content":{"rendered":"<p>La dimostrazione discende dalle note propriet\u00e0  di cardinalit\u00e0  degli insiemi numerici in questione.<\/p>\n<p>Infatti ricordiamo che l&#8217;insieme dei numeri razionali <span style=\"font-weight: bold;\">Q<\/span> \u00e8 un insieme numerabile, ovvero ha la stessa cardinalit\u00c3  dell&#8217;insieme <span style=\"font-weight: bold;\">N <\/span>dei numeri naturali. Invece <span style=\"font-weight: bold;\">R <\/span>\u00e8 un insieme molto pi\u00f9 grande di <span style=\"font-weight: bold;\">Q<\/span>, e infatti non \u00e8\u00a8 numerabile, non ha la stessa cardinalit\u00e0  di <span style=\"font-weight: bold;\">Q<\/span>, bens\u00ec ha la cosidetta potenza del continuo. <\/p>\n<p>Premesso ci\u00f2, siano quindi dati due numeri reali x e y, con x&lt;y. Vogliamo trovare un numero irrazionale (= non razionale) che stia tra x ed y. <br \/>La seguente figura mostra come sia possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra l&#8217;intervallo aperto (x,y) e la semiretta aperta (0,+infinito):<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.vialattea.net\/spaw\/image\/matematica\/retta.GIF\" alt=\"\"\/><\/p>\n<p>Mettiamo infatti il segmento (x,y) verticalmente facendo coincidere x con l&#8217;origine 0 della semiretta reale, e proiettiamo da P i punti del segmento (x,y): otteniamo una corrispondenza 1 ad 1 con la semiretta aperta (0,+infinito).<br \/>Quello che abbiamo mostrato \u00e8 dunque che il segmento aperto (x,y) ha la stessa cardinalit\u00e0  della semiretta (0,+infinito), che ha la stessa cardinalit\u00e0  dell&#8217;intera retta, ovvero <span style=\"font-weight: bold;\">R<\/span>. <br \/>Ma allora l&#8217;insieme dei numeri tra x ed y non \u00e8 numerabile; essendo invece in quantit\u00e0  numerabile l&#8217;insieme dei numeri razionali tra x ed y, ne segue che, nell&#8217;intervallo (x,y), esistono numeri che non sono razionali (dunque irrazionali). <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>[&#8230;]<\/p>\n","protected":false},"author":228,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[72],"tags":[],"class_list":["post-931","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-teoria-dei-numeri"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/931","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/users\/228"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=931"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/931\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=931"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=931"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=931"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}