{"id":793,"date":"2004-06-08T00:00:00","date_gmt":"2004-06-07T22:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"793","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/793\/","title":{"rendered":"Vorrei sapere cosa sono le funzioni di Bessell e il loro utilizzo nell’ambito della ricostruzione dello spettro di frequenza dei segnali modulati in angolo. Grazie"},"content":{"rendered":"

La modulazione di angolo (nota come modulazione di argomento che comprende
\ncome casi particolari le
\nmodulazioni di fase e di frequenza) \u00e8 una modulazione
\nnon lineare. Il segnale modulante, cio\u00e8 il messaggio,
\n \u00e8 “consegnato” all`argomento
\ndella portante sinusoidale e ci\u00f2 comporta un`estensione spettrale del segnale
\nmodulato che normalmente risulta molto pi\u00f9 ampia dello spettro del messaggio
\n(teoricamente
\ninfinita). <\/font><\/p>\n

<\/p>\n

<\/font><\/p>\n

Ricordiamo che nelle modulazioni lineari dove in sostanza abbiamo un
\nprodotto tra il messaggio e la portante, noto lo spettro del messaggio,
\n\u00e8 relativamente semplice ricavare lo spettro modulato 1<\/sup><\/a>.
\nAddirittura
\nnel caso di segnale modulante stazionario e portante sinusoidale \u00e8 sufficiente
\nun semplice prodotto trigonometrico applicando le formule di prostaferesi
\nper ricavare la posizione e l`ampiezza delle righe dello spettro modulato.<\/font><\/p>\n

<\/p>\n

<\/font><\/p>\n

Le modulazioni di argomento sono molti intuitive nel loro principio
\ndi funzionamento ma molto pi\u00f9 complesse nell`analisi spettrale appunto
\nper la loro non linearit\u00e0.<\/font><\/p>\n

<\/p>\n

<\/font><\/p>\n

Un segnale modulato in frequenza consiste in una deviazione di frequenza
\ndella portante proporzionale al messaggio, rappresentabile da un vettore
\nche mentre ruota con una velocit\u00e0 angolare della portante
\nωo<\/sub><\/b>
\noscilla pendolarmente attorno ad essa con le frequenza del messaggio
\ned ampiezze di oscillazione angolare ΔΦ<\/b>
\nproporzionali all`ampiezza
\ndel messaggio, vm<\/sub>(t)<\/b>. <\/font><\/p>\n

<\/p>\n

<\/font><\/p>\n

La rappresentazione analitica (che per comodit\u00e0 esprimo in forma
\nesponenziale complessa) dell`inviluppo del segnale modulato di argomento
\ndi una sinusoide che modula l`argomento di un`altra sinusoide con
\nωo<\/sub>
\n>> ωm<\/sub> \u00e8 uguale a: <\/font><\/p>\n

<\/p>\n

<\/font><\/p>\n

\"\"\/<\/sub> \u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0(a)<\/font><\/p>\n

<\/p>\n

<\/font><\/p>\n

dove Vo<\/b> \u00e8 la portante non modulata e α(t)<\/b> \u00e8 una trasformazione
\ndel segnale modulante vm<\/sub>(t)<\/b>. Nel semplice caso di messaggio
\nsinusoidale abbiamo:<\/font><\/p>\n

<\/p>\n

<\/font><\/p>\n

\"\"\/<\/sub> \u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 otteniamo:
\n<\/font><\/p>\n

\n\"\"\/<\/sub>\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0(b)
\n<\/font><\/p>\n

<\/p>\n

<\/font><\/p>\n

ΔΦ<\/b> \u00e8 la massima deviazione angolare che subisce la portante,
\ne nella modulazione di frequenza rappresenta l`indice di modulazione, normalmente
\nindicato con m.<\/font><\/p>\n

<\/p>\n

<\/font><\/p>\n

Ebbene, a differenza delle modulazioni lineari, per scomporre la (b)
\ne ricavare le righe spettrali del segnale modulato, bisogna ricorrere allo
\nsviluppo in serie di Fourier servendosi delle funzioni di Bessel. Pi\u00f9 complessa,
\ne relativamente recente \u00e8 l`analisi della densit\u00e0 spettrale per segnali
\nmodulanti non periodici. <\/font><\/p>\n

<\/p>\n

<\/font><\/p>\n

Stacchiamoci momentaneamente dalla radiotecnica per rispondere cosa
\nsono le funzioni di Bessel. Mi limiter\u00f2 a descrivere l`essenziale in modo
\nche chi volesse approfondire sappia che cosa cercare. <\/font><\/p>\n

<\/p>\n

<\/font><\/p>\n

Le funzioni di Bessel sono alcune soluzioni di una particolare equazione
\ndifferenziale lineare del secondo ordine, detta di Bessel2<\/sup><\/a>.
\n<\/font><\/p>\n

<\/p>\n

<\/font><\/p>\n

Le soluzioni delle equazioni differenziali sono funzioni y=f(x)<\/b> che possono
\nessere rappresentate mediante uno sviluppo in serie di potenze della forma
\n<\/font><\/p>\n

<\/p>\n

<\/font><\/p>\n

\"\"\/<\/sub>\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 (c)<\/font><\/p>\n

<\/p>\n

<\/font><\/p>\n

Certe forme di equazioni che presentano singolarit\u00e0 non hanno
\nnessuna serie di potenze che sono soluzioni nell`intervallo attorno alla
\nsingolarit\u00e0.<\/font><\/p>\n

<\/p>\n

<\/font><\/p>\n

Per esempio, supponiamo che l`equazione differenziale del secondo ordine
\nsia un`equazione di questo tipo:<\/font><\/p>\n

<\/p>\n

<\/font><\/p>\n

\"\"\/<\/sub>\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 (d)
\n<\/font><\/p>\n

<\/p>\n

<\/font><\/p>\n

quando X=0 i coefficienti delle derivate prima e seconda di y hanno
\nvalore 0 (punto singolare in x=0).<\/font><\/p>\n

<\/p>\n

<\/font><\/p>\n

Per risolvere queste equazione ci vuole una buona preparazione nella
\nteoria delle funzioni di una variabile complessa.
\nPer fortuna, alcuni casi speciali d funzioni che presentano singolarit\u00e0
\nhanno delle teorie che consentono dei metodi per essere risolte ancora
\ncon sviluppi di serie di potenza attorno alla singolarit\u00e0.<\/font><\/p>\n

<\/p>\n

<\/font><\/p>\n

Se poniamo Xo=0, P(x) =1, Q(x)=X2<\/sup>-n2<\/sup><\/b>, la forma
\ndell`equazione diventa:<\/font><\/p>\n

<\/p>\n

<\/font><\/p>\n

\"\"\/<\/sub>\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 (e)<\/font><\/p>\n

<\/p>\n

<\/font><\/p>\n

che \u00e8 nota come equazione di Bessel<\/u>. \u00c8 utilizzata in fisica
\nnei problemi riguardanti flussi di calore in cilindri e vibrazioni di
\nmembrana e nella modulazione di argomento dove appunto abbiamo un vettore
\n(portante) che vibra. Il punto Xo \u00e8 un punto singolare regolare e ci\u00f2 permette
\ndi utilizzare il teorema di Frobenius per ricavare soluzioni nella forma
\ndi serie di potenze (c).<\/font><\/p>\n

<\/p>\n

<\/font><\/p>\n

\"\"\/<\/sub>\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 (f)<\/font><\/p>\n

<\/p>\n

<\/font><\/p>\n

\u00c8 possibile semplificare la forma applicando alcune propriet\u00e0 della
\nfunzione gamma di Eulero. Se utilizziamo la classica notazione J(x)<\/b> al posto
\ndi f(x) e poniamo n=α<\/b>, si ottengono le forme classiche della funzione
\ndi Bessel di prima specie d`ordine n, per x>0 e n>=0. <\/font><\/p>\n

<\/p>\n

<\/font><\/p>\n

Quando n \u00e8 un intero non negativo otteniamo un`altra semplificazione
\ne la funzione di Bessel \u00e8 data dalla serie di potenze:<\/font><\/p>\n

<\/p>\n

<\/font><\/p>\n

\"\"\/<\/sub>\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 (g)<\/font><\/p>\n

<\/p>\n

<\/font><\/p>\n

Questa \u00e8 anche una soluzione dell`equazione di Bessel per x<0.
\n<\/font><\/p>\n

\nSono state costruite tavole molto estese delle funzioni di Bessel: una
\nvolta si usava l`Abramovitz oggi con i PC
\nsi trovano le funzioni di Bessel anche in applicativi tipo Excel.<\/font><\/p>\n

<\/p>\n

<\/font><\/p>\n

In figura sono mostrati i grafici delle 6 funzioni
\nJo<\/sub>-J5<\/sub>(x).<\/font><\/p>\n

<\/p>\n

<\/font><\/p>\n

Per vedere l`utilizzo delle funzioni di Bessel per la visualizzazione
\ndello spettro modulato di argomento da un messaggio sinusoidale, riprendiamo
\nl`espressione (b) ed osserviamo che l`inviluppo complesso della modulazione
\n\u00e8 periodico di periodo Tm<\/sub>=1\/fm<\/sub><\/b> <\/font><\/p>\n

<\/p>\n

<\/font><\/p>\n

Di conseguenza si pu\u00f2 espandere v(t) in sviluppi in serie di Fourier:<\/font><\/p>\n

<\/p>\n

<\/font><\/p>\n

\"\"\/<\/sub>\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 (h)<\/font><\/p>\n

<\/p>\n

<\/font><\/p>\n

Dove i coefficienti di Fourier Cn<\/b> sono espressi mediante le funzioni
\ndi Bessel di prima specie <\/font><\/p>\n

<\/p>\n

<\/font><\/p>\n

\"\"\/<\/sub> funzioni di bessel\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 (i)<\/font><\/p>\n

<\/p>\n

<\/font><\/p>\n

Ecco l`utilizzo delle funzioni di Bessel<\/u>: il fatto importante
\n\u00e8 che non serve calcolare i coefficienti di Fourier, poich\u00e9 sono le stesse
\nfunzioni di Bessel <\/font><\/p>\n

<\/p>\n

<\/font><\/p>\n

Diamo ora alcune propriet\u00e0 delle funzioni di Bessel anche deducibili
\ndal fatto che sono i coefficienti d Fourier del segnale (h) <\/font><\/p>\n

<\/p>\n

<\/font><\/p>\n

\"\"\/<\/sub><\/font><\/p>\n

<\/p>\n

<\/font><\/p>\n

In base a queste propriet\u00e0 e applicando la trasformata di Fourier per
\npassare dal dominio tempo della (h) al dominio della frequenza, che evito
\ndi descrivere per non appesantire troppo la risposta, per il calcolo dello
\nspettro \u00e8 sufficiente conoscere le funzioni di Bessel per argomenti e indici
\nnon negativi. Gli andamenti dei Jn<\/sub> (ΔΦ) per i primi
\nsei ordini di n sono illustrati in figura. <\/font><\/p>\n

<\/p>\n

<\/font><\/p>\n

\"\"\/<\/sub>\u00a0<\/font><\/p>\n

<\/p>\n

<\/font><\/p>\n

Ho inoltre illustrato nella figura l`andamento dello spettro per il
\nvalore di ΔΦ=m=2.4<\/b> che come esempio \u00e8 la deviazione di fase
\nottenuta da una portante di 100Khz, sottoposta ad una deviazione di frequenza
\ndi 2.4 Khz, che si sposta con frequenza fm<\/b> di 1Khz. Penso che la figura
\nvisualizzi bene il metodo per ricavare lo spettro. Per ogni valore dell`indice
\ndi modulazione m<\/b> abbiamo spettri completamenti diversi.<\/font><\/p>\n

<\/p>\n

<\/font><\/p>\n

Osservando la figura notiamo che la funzione J0<\/sub> (ΔΦ)
\nrappresenta l`ampiezza della portante. A deviazione nulla (m=O, segnale
\nnon modulato) abbiamo solo la portante fo, presa, per comodit\u00e0, di ampiezza unitaria
\ned uguale al valore che J0<\/sub> (ΔΦ)= 1.
\nLe ampiezze rappresentano
\ntensioni elettriche; per la potenza basta fare il quadrato dei Jn<\/sub>(x)
\n <\/font><\/p>\n

<\/p>\n

<\/font><\/p>\n

Aumentando via via l`indice di modulazione lo spettro si arricchisce
\ndi componenti laterali3<\/sup><\/a> (duomo di Milano) e la portante si
\nriduce conseguentemente in accordo con il fatto che la potenza del segnale
\nmodulato in argomento \u00e8 costante. Vettore che ruota con raggio unitario
\nformando una circonferenza, nessuna variazione di ampiezza).<\/font><\/p>\n

<\/p>\n

<\/font><\/p>\n

Si vede che la portante si annulla per indici di modulazione di 2.4,5.5
\ne cos\u00ec via. La funzione J1<\/sub> (ΔΦ) rappresenta le prime
\nrighe laterali attorno alla portante a distanza fo\u00b1fm<\/sub>.
\nJ2<\/sub>(ΔΦ)
\nrappresenta le seconde righe laterali attorno alla
\nportante a distanza fo\u00b12fm<\/sub> e cos\u00ec via.<\/font><\/p>\n

<\/p>\n

<\/font><\/p>\n

Per (ΔΦ) diverso da zero l`estensione spettrale \u00e8 sempre
\nillimitata e la larghezza di banda \u00e8 calcolata per convenzione al 90% della
\npotenza totale. L`espressione per ottenere la larghezza di Banda \u00e8 la nota
\nregola di Carson<\/i> <\/font><\/p>\n

<\/p>\n

<\/font><\/p>\n\n

Note <\/font><\/h4>\n

<\/p>\n

<\/font><\/p>\n

    \n

    <\/p>\n

  1. Tutte le modulazioni di ampiezza<\/a> sono lineari comprese le modulazioni
    \ndigitali QAM e PSK che diffusa come modulazione di fase non ha niente ha
    \nche fare con le modulazioni di argomento.<\/li>\n

    <\/font><\/p>\n

    <\/p>\n

    <\/font><\/p>\n

    <\/p>\n

  2. L`equazione prese il nome dell`astronomo<\/a> tedesco Bessel nonostante
    \nche fossero presenti un secolo primo nei lavori di Bernoulli ed Eulero.<\/li>\n

    <\/font><\/p>\n

    <\/p>\n

    <\/font><\/p>\n

    <\/p>\n

  3. In realt\u00e0 lo spettro \u00e8 formato da righe, <\/a>che non hanno dimensione
    \nin ascisse, nella figura sono visualizzate barre per limitazioni dovute all’uso
    \ndel programma Excel.\u00a0<\/li>\n

    <\/font><\/p>\n

    <\/p>\n

    <\/font><\/ol>\n

    \u00a0 <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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