La risposta a questa domanda \u00e8 piuttosto lunga e anche un po’ tecnica. Purtroppo non esistono vie regie per la meccanica quantistica. Almeno non che si conoscano.<\/p>\n
In meccanica quantistica lo stato di un sistema viene rappresentato da un vettore (in realt\u00e0 da un “raggio”, cioè una direzione) in spazio di vettori dotato di un concetto di proiezione di un vettore sulla direzione di un altro vettore. Tecnicamente questa \u00e8 la nozione di prodotto scalare (pi\u00f9 precisamente si chiama prodotto hermitiano).
\nQuesto prodotto scalare si indica in genere con
\n (v,w)
\ned \u00e8 un numero complesso per ogni coppia di vettori v e w. Ad esempio nello spazio bi- o tri- dimensionale il prodotto scalare di due vettori \u00e8 il prodotto tra la proiezione del primo vettore sulla direzione del secondo, e la lunghezza del secondo vettore stesso.<\/p>\n
Questo tipo di spazio vettoriale viene detto spazio di Hilbert. In realt\u00e0 c’\u00e8 anche un’altra propriet\u00e0 che tale spazio deve avere per essere detto “di Hilbert”, ma \u00e8 un po’ tecnica, quindi la ometto, adesso.
\nImportante \u00e8 che questo spazio pu\u00f2 anche essere a dimensione infinita, cio\u00e8 avere infinite direzioni indipendenti.
\nPer rispondere alla domanda ci si pu\u00f2 anche limitare a uno spazio a dimensione finita, caso questo che ha una certa applicazione in fisica.<\/p>\n
Negli spazi di Hilbert che si usano in meccanica quantistica si pu\u00f2 isolare un insieme di vettori {v1<\/sub>,…,v1<\/sub>} tali che<\/p>\n a) il prodotto scalare di una qualunque coppia di questi si annulla b) il prodotto scalare di ogni vettore con s\u00e9 stesso \u00e8 uguale ad uno cioè c) nessuno di questi vettori si puo’ scrivere come una combinazione lineare dei rimanenti, cioè una somma del tipo dove gli a1<\/sub>,…,an <\/sub> sono dei numeri complessi. Prendiamo per esempio una particella vincolata a stare ferma in un punto. Esistono in natura particelle che hanno un momento angolare intrinseco (anche detto “spin”), che pu\u00f2 venire pittoricamente rappresentato come il fatto di girare su un proprio asse (tipo il moto intrinseco della terra, che si aggiunge a quello attorno al sole).<\/p>\n In meccanica quantistica lo spin, cos\u00ec come il momento angolare totale di una particella sono legati al comportamento che lo stato della particella ha quando viene effettuata una rotazione delle coordinate. Diciamo che se guardo il sistema in un certo modo oppure lo guardo dopo essermi messo a testa in gi\u00f9, la descrizione che ne dar\u00f2 sar\u00e0 diversa. <\/p>\n Nel nostro caso scegliamo di limitarci ad una particella (vincolata) che possa essere descritta da uno spazio degli stati che sia bidimensionale. Cio\u00e9 ogni vettore dello spazio degli stati della particella pu\u00f2 essere scritto come la combinazione lineare di soli due stati {{v1<\/sub>,v2<\/sub>} come segue<\/p>\n v = a1<\/sub> v1<\/sub>+ a 2<\/sub> v2 <\/sub><\/p>\n Dalla matematica (per essere precisi dalla teoria delle rappresentazioni del gruppo delle rotazioni) si conoscono diverse propriet\u00e0 di una particella siffatta. In fisica particelle simili sono gli elettroni (nel limite non relativistico), e si dice che hanno spin uguale ad 1\/2.<\/p>\n Possiamo per esempio usare come vettori v1<\/sub> e v2<\/sub> gli stati di un elettrone con lo spin positivo (cio\u00e9 che “ruoti” in senso antiorario su s\u00e9 stesso) e con spin negativo, rispettivamente. Se l’elettrone invece \u00e8 nello stato<\/p>\n v = a1<\/sub> v1<\/sub>+ a 2<\/sub> v2 <\/sub><\/p>\n allora secondo la meccanica quantistica si ha<\/p>\n Probabilità |a1<\/sub>| 2<\/sup> di trovare il momento angolare 1\/2 * h Cio\u00e8 la probabilit\u00e0 di trovare l’elettrone in ogni stato \u00e8 il modulo quadrato del coefficiente relativo ai<\/sub>. Probabilit\u00e0 |a1<\/sub>| 2<\/sup> che l’energia sia E1<\/sub> = 1\/2 * h * B<\/b><\/p>\n Probabilit\u00e0 |a2<\/sub>| 2<\/sup> che l’energia sia E2<\/sub> = -1\/2 * h * B<\/b><\/p>\n Questo descritto \u00e8 il prototipo di un sistema a due livelli (come per esempio si incontra in alcuni tipi di sistemi in ottica). Esistono anche molti casi di sistemi con pi\u00f9 livelli, e addirittura moltissimi casi di sistemi a infiniti livelli, come negli atomi e nelle molecole e… praticamente in quasi tutti i sistemi fisici importanti. \u00c8 questo che si intende quando si dice che in meccanica quantistica c’\u00e8 la probabilit\u00e0 che il sistema si in uno stato piuttosto che in altro o che abbia una certa energia.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" […]<\/p>\n","protected":false},"author":260,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[47],"tags":[],"class_list":["post-778","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-fisica-quantistica-e-nucleare"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/778","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/users\/260"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=778"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/778\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=778"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=778"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=778"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}
\n (vk<\/sub>,vn<\/sub>)=0 per k diverso da n<\/p>\n
\n (vk<\/sub>,vk<\/sub>)=1<\/p>\n
\n a1<\/sub> v1<\/sub>+ … + a n<\/sub> vn <\/sub><\/p>\n
\nPer spazi a dimensione infinita questo insieme \u00e8 composto da un numero infinito di vettori.
\nUna volta noto questo insieme di vettori, uno pu\u00f2 dimostrare che qualunque altro vettore dello spazio pu\u00f2 essere scritto come combinazione lineare dei vettori {v1<\/sub>,…,vn<\/sub>}. <\/p>\n
\nConsideriamo l’asse di “rotazione” dell’elettrone l’asse verticale in certe coordinate cartesiane.
\nPoniamo che l’elettrone nello stato v1<\/sub> avr\u00e0 un momento angolare, dovuto al suo ruotare, uguale 1\/2 moltiplicato un certo “quanto” fondamentale di momento angolare (proporzionale alla costante di Planck) e nello stato v2<\/sub> invece avr\u00e0 momento angolare uguale a -1\/2 per questo quanto. Vuol dire che se un elettrone \u00e8 nello stato descritto da v1<\/sub> ad es., la misura del momento angolare rispetto all’asse verticale trover\u00e0 certamente <\/b> il valore 1\/2 * h, e con il segno opposto se invece l’elettrone \u00e8 in uno stato descritto dall’altro vettore.<\/p>\n
\nProbabilità |a2<\/sub>| 2<\/sup> di trovare il momento angolare -1\/2 * h<\/p>\n
\nAdesso ad esempio si potrebbe accendere un campo magnetico B<\/b> ad esempio in direzione verticale, per cui c’\u00e8 una interazione tra l’elettrone rotante e il campo. L’energia dell’elettrone dovuta a questa interazione \u00e8
\nE = B<\/b> * M
\ndove M e’ il momento angolare intrinseco dell’elettrone. Allora, se l’elettrone \u00e8 nello stato v scritto in precedenza, se si misura l’energia, si ha<\/p>\n
\nLa tecnologia che si usa \u00e8 sempre la stessa.
\nSi trovano i valori possibili di energia del sistema (quello che si chiama “lo spettro di energia”); poi si trovano degli stati in cui il sistema ha certamente<\/b> quei valori di energia. Quindi questi stati vengono etichettati dal valore dell’energia che hanno, dal livello energetico. Pu\u00f2 accadere che ci siano pi\u00f9 stati indipendenti con lo stesso livello energetico, allora si usano delle altre quantit\u00e0 (tipo il momento angolare) per etichettarlo in maniera univoca. Quello che accade alla fine del processo \u00e8 che un qualunque stato che il sistema pu\u00f2 assumere pu\u00f2 essere scritto come una combinazione lineare di questi stati che sono stati trovati. Allora tutte le quantit\u00e0 fisiche si possono calcolare in maniera algebrica.<\/p>\n