{"id":722,"date":"2004-11-19T00:00:00","date_gmt":"2004-11-18T23:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"722","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/722\/","title":{"rendered":"Come si spiega la divisione tra polinomi?"},"content":{"rendered":"<p align=\"justify\"><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\">L&#8217;idea alla base della divisione tra polinomi \u00e8 la<br \/>\nstessa che sta alla base della divisione tra numeri naturali.  Nell&#8217;insieme<br \/>\ndei numeri naturali la divisione \u00e8 caratterizzata da un teorema di<br \/>\nesistenza secondo il quale <i>dati due numeri naturali a e b, esiste un&#8217;unica<br \/>\ncoppia di numeri naturali <\/i>(<i>q<\/i>,\u00a0<i>r<\/i>)<i> tale che<br \/>\na<\/i>\u00a0=\u00a0<i>bq<\/i>\u00a0+\u00a0<i>r e <\/i>0\u00a0<img decoding=\"async\" valign=\"middle\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/img\/le.gif\" alt=\"\"\/>\u00a0<i>r<\/i>\u00a0&lt;\u00a0<i>b<\/i>.<br \/>\nNell&#8217;insieme <img decoding=\"async\" valign=\"middle\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/img\/real.gif\" alt=\"\"\/>[<i>x<\/i>] dei polinomi a<br \/>\ncoefficienti reali esiste un teorema del tutto analogo: <\/font><\/p>\n<p align=\"justify\"><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\"><b>Teorema. <\/b><i>Dati due polinomi a coefficienti reali<br \/>\na<\/i>(<i>x<\/i>)<i> e b<\/i>(<i>x<\/i>)\u00a0<img decoding=\"async\" valign=\"middle\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/img\/in.gif\" alt=\"\"\/>\u00a0<img decoding=\"async\" valign=\"middle\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/img\/real.gif\" alt=\"\"\/>[<i>x<\/i>]<i>,<br \/>\nesiste un&#8217;unica coppia di polinomi<br \/>\n<\/i>(<i>q<\/i>(<i>x<\/i>),\u00a0<i>r<\/i>(<i>x<\/i>))<i> tale che<br \/>\na<\/i>(<i>x<\/i>)\u00a0=\u00a0<i>b<\/i>(<i>x<\/i>)<i>q<\/i>(<i>x<\/i>)\u00a0+\u00a0<i>r<\/i>(<i>x<\/i>)<i><br \/>\ne che il grado di r<\/i>(<i>x<\/i>)<i> sia minore del grado di<br \/>\nb<\/i>(<i>x<\/i>)<i>.<\/i> <\/font><\/p>\n<p align=\"justify\"><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\"><i>Dimostrazione. <\/i>Iniziamo dimostrando l&#8217;unicit\u00e0<br \/>\ndella coppia di polinomi quoziente e resto.  Supponiamo che, oltre ai polinomi<br \/>\n<i>q<\/i>(<i>x<\/i>) e <i>r<\/i>(<i>x<\/i>), esistano altri due polinomi<br \/>\n<i>q&#8217;<\/i>(<i>x<\/i>), <i>r&#8217;<\/i>(<i>x<\/i>) tali che<br \/>\n<i>a<\/i>(<i>x<\/i>)\u00a0=\u00a0<i>b<\/i>(<i>x<\/i>)<i>q&#8217;<\/i>(<i>x<\/i>)\u00a0+\u00a0<i>r&#8217;<\/i>(<i>x<\/i>)<br \/>\ne che il grado di <i>r&#8217;<\/i>(<i>x<\/i>) sia minore del grado di<br \/>\n<i>b<\/i>(<i>x<\/i>).  Possiamo allora scrivere <\/font><\/p>\n<p align=\"center\"><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\">0 = <i>a<\/i>(<i>x<\/i>)\u00a0&#8211;\u00a0<i>a<\/i>(<i>x<\/i>)<br \/>\n                  = <i>b<\/i>(<i>x<\/i>)[<i>q<\/i>(<i>x<\/i>)\u00a0&#8211;\u00a0<i>q&#8217;<\/i>(<i>x<\/i>)]<br \/>\n                    + <i>r<\/i>(<i>x<\/i>)\u00a0&#8211;\u00a0<i>r&#8217;<\/i>(<i>x<\/i>), <\/font><\/p>\n<p><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\">cio\u00e8 <\/font><\/p>\n<p align=\"center\"><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\"><i>b<\/i>(<i>x<\/i>)[<i>q<\/i>(<i>x<\/i>)\u00a0&#8211;\u00a0<i>q&#8217;<\/i>(<i>x<\/i>)]<br \/>\n                    = <i>r&#8217;<\/i>(<i>x<\/i>)\u00a0&#8211;\u00a0<i>r<\/i>(<i>x<\/i>). <\/font><\/p>\n<p align=\"justify\"><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\">Quest&#8217;ultima \u00e8 un&#8217;uguaglianza tra due polinomi; in<br \/>\nparticolare, il suo primo membro e il suo secondo membro sono polinomi aventi<br \/>\nlo stesso grado.  Si ricordino per\u00f2 due fatti fondamentali: <\/font><\/p>\n<ul><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\"><\/p>\n<li>\n<p align=\"justify\">il prodotto di due polinomi diversi da zero \u00e8 un<br \/>\npolinomio che ha per grado la somma dei gradi dei due polinomi fattori;<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p align=\"justify\">la somma di due polinomi qualsiasi \u00e8 un polinomio<br \/>\nche ha grado minore o uguale del massimo tra i gradi dei due polinomi addendi.<\/p>\n<\/li>\n<p><\/font><\/ul>\n<p align=\"justify\"><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\">La seconda di queste due propriet\u00e0 dei polinomi<br \/>\nassicura che il membro destro dell&#8217;uguaglianza qui sopra ha grado minore del<br \/>\ngrado di <i>b<\/i>(<i>x<\/i>), mentre la prima afferma che il suo membro<br \/>\nsinistro, se non \u00e8 nullo, ha grado maggiore o uguale del grado di<br \/>\n<i>b<\/i>(<i>x<\/i>).  Si conclude allora che il membro sinistro, e quindi anche<br \/>\nil membro destro, deve essere nullo, cio\u00e8 che<br \/>\n<i>q<\/i>(<i>x<\/i>)\u00a0=\u00a0<i>q&#8217;<\/i>(<i>x<\/i>) e<br \/>\n<i>r<\/i>(<i>x<\/i>)\u00a0=\u00a0<i>r&#8217;<\/i>(<i>x<\/i>), come volevamo dimostrare.<br \/>\n<\/font><\/p>\n<p align=\"justify\"><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\">La dimostrazione dell&#8217;esistenza si effettua fornendo un<br \/>\nalgoritmo esplicito per il calcolo della divisione tra polinomi, del tutto<br \/>\nanalogo al &#8220;metodo della caravella&#8221; di cui abbiamo parlato in una precedente<br \/>\n<a href=\"http:\/\/www.vialattea.net\/esperti\/php\/risposta.php?num=2321\">risposta<\/a>.  Se il grado di<br \/>\n<i>b<\/i>(<i>x<\/i>) \u00e8 maggiore di quello di <i>a<\/i>(<i>x<\/i>), allora<br \/>\nil quoziente \u00e8 0 e il resto \u00e8 <i>a<\/i>(<i>x<\/i>) stesso;<br \/>\naltrimenti l&#8217;algoritmo \u00e8 il seguente: <\/font><\/p>\n<ol><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\"><\/p>\n<li>\n<p align=\"justify\">si scrivono il dividendo <i>a<\/i>(<i>x<\/i>) a sinistra e<br \/>\nil divisore <i>b<\/i>(<i>x<\/i>) a destra, separati da una linea verticale<br \/>\nestesa verso il basso. Si disegna inoltre una linea orizzontale che sottolinea<br \/>\nil divisore;<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p align=\"justify\">sia <i>n<\/i> pari alla differenza tra il grado del<br \/>\npolinomio <i>a<\/i>(<i>x<\/i>) e il grado del polinomio <i>b<\/i>(<i>x<\/i>);<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p align=\"justify\">consideriamo il monomio di grado massimo del polinomio<br \/>\nche si trova in fondo alla colonna di sinistra e il monomio di grado massimo<br \/>\ndel divisore <i>b<\/i>(<i>x<\/i>): scriviamo il monomio quoziente del primo per<br \/>\nil secondo sotto il divisore, completo del suo segno;<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p align=\"justify\">aggiungiamo una riga alla prima colonna, scrivendo il<br \/>\npolinomio che si ottiene moltiplicando il divisore per l&#8217;opposto del monomio<br \/>\ntrovato al punto 3.;<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p align=\"justify\">aggiungiamo un&#8217;altra riga alla prima colonna, scrivendo<br \/>\nil polinomio che si ottiene sommando i polinomi scritti nelle ultime due righe<br \/>\ndella colonna stessa;<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p align=\"justify\">se <i>n<\/i>\u00a0=\u00a00 passiamo al punto 7.,<br \/>\naltrimenti, diminuiamo <i>n<\/i> di un&#8217;unit\u00e0 e torniamo al punto 3;<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p align=\"justify\">il polinomio scritto sotto il divisore \u00e8 il<br \/>\nquoziente e l&#8217;ultima riga della colonna di sinistra \u00e8 il resto.<\/p>\n<\/li>\n<p><\/font><\/ol>\n<p align=\"justify\"><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\">La dimostrazione della correttezza di questo algoritmo<br \/>\navviene, in modo del tutto analogo a quello della caravella per la divisione<br \/>\ntra numeri naturali, dimostrando per induzione le seguenti due proposizioni:<br \/>\n<\/font><\/p>\n<ul><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\"><\/p>\n<li>\n<p align=\"justify\"><i>P<sub>k<\/sub><\/i>: <i>al k-esimo passaggio per<br \/>\nl&#8217;istruzione 5., moltiplicando il divisore per il polinomio che si trova sotto<br \/>\nil divisore e aggiungendo l&#8217;ultima riga della colonna di sinistra si ottiene<br \/>\nil dividendo (cio\u00e8 la prima riga della colonna di sinistra)<\/i>;<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p align=\"justify\"><i>Q<sub>k<\/sub><\/i>: <i>al k-esimo passaggio per<br \/>\nl&#8217;istruzione 5., la differenza tra il grado dell&#8217;ultima riga della colonna di<br \/>\nsinistra e il grado del divisore \u00e8 strettamente minore di n<\/i>.<\/p>\n<\/li>\n<p><\/font><\/ul>\n<p align=\"justify\"><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\">La dimostrazione \u00e8 molto simile a quella vista nella<br \/>\nprecedente <a target=\"_blank\" href=\"http:\/\/www.vialattea.net\/esperti\/php\/risposta.php?num=2321\">risposta<\/a> a<br \/>\nproposito della divisione tra numeri interi, per cui invitiamo il lettore<br \/>\nvolonteroso a ricavarla autonomamente.  Osserviamo che tali proposizioni<br \/>\ngarantiscono che quando <i>n<\/i>\u00a0=\u00a00 il grado dell&#8217;ultima riga della<br \/>\ncolonna di sinistra sia minore del grado del divisore e quindi, stante il<br \/>\nfatto che tale polinomio aggiunto al prodotto dei due polinomi nella colonna<br \/>\ndi destra \u00e8 sempre pari al dividendo, abbiamo ottenuto precisamente il<br \/>\nquoziente e il resto. <\/font><\/p>\n<p align=\"justify\"><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\">\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Vale anche la pena di<br \/>\nosservare che, cos\u00ec come abbiamo fatto a proposito della divisione tra<br \/>\nnumeri, non abbiamo fornito l&#8217;algoritmo nella versione esatta in cui lo si<br \/>\nadopera di solito.  Nel caso dei polinomi, infatti, esistono una serie di<br \/>\n&#8220;furbizie&#8221; che si impiegano per rendere il procedimento pi\u00f9 ordinato e,<br \/>\nquindi, a minor rischio di errore: per esempio, si scrivono entrambi i<br \/>\npolinomi ordinati e completi, cio\u00e8 scrivendone i monomi in ordine dal<br \/>\ngrado maggiore al grado minore e scrivendo esplicitamente, per esempio,<br \/>\n<i>x<\/i><sup>2<\/sup>\u00a0+\u00a00<i>x<\/i>\u00a0&#8211;\u00a04 invece di<br \/>\n<i>x<\/i><sup>2<\/sup>\u00a0&#8211;\u00a04.  Tali tecniche, anche se indubbiamente<br \/>\nutili come detto sopra, non cambiano la sostanza dell&#8217;algoritmo, n\u00e9<br \/>\nsono necessarie per raggiungere il risultato cercato.<\/p>\n<p>      <\/font><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>[&#8230;]<\/p>\n","protected":false},"author":196,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[65],"tags":[],"class_list":["post-722","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-algebra"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/722","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/users\/196"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=722"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/722\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=722"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=722"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=722"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}