{"id":63,"date":"2001-10-07T00:00:00","date_gmt":"2001-10-06T22:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"63","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/63\/","title":{"rendered":"il teorema di noether recita cos\u00ec:”ad ogni simmetria continua che lascia invariata la densit\u00e0 di lagrangiana corrisponde una corrente conservata”.potreste spiegarmi il significato di questa affermazione?"},"content":{"rendered":"

Per rispondere
\n in modo comprensibile devo fare alcune precisazioni che partono dalla
\n meccanica classica. <\/font><\/p>\n

\n <\/div>\n

Un sistema
\n fisico classico e’ descritto, nello spazio e ad un istante, da un insieme
\n di punti che ne specificano la posizione, piu’ alcuni numeri che specificano
\n la massa di tali punti (si puo’ dare la massa in modo “continuo” quando
\n il sistema e’ di tipo continuo, per esempio un gas oppure un liquido ed
\n in tal caso la massa viene assegnata taramite una densita’ di massa).<\/font><\/p>\n

\n <\/div>\n

Lo *stato
\n meccanico* di un sistema fisico e’ descritto, rispetto ad un sistema di
\n riferimento, assegnando anche le velocita’ dei punti detti sopra rispetto
\n al sistema di riferimento considerato. <\/font><\/p>\n

\n <\/div>\n

La meccanica
\n classica dice che quando conosciamo le forze che agiscono sul nostro sistema,
\n assegnato lo stato meccanico del sistema ad un determinato istante, sono
\n determinati gli stati meccanici del sistema in tutti gli altri istanti,
\n nel passato e nel futuro. Tale determinazione si ottiene risolvendo le
\n equazioni della dinamica classica (dovute essenzialmente a Newton) che
\n tengono conto delle forze che agiscono sul sistema che si suppongono note.
\n <\/font><\/p>\n

\n <\/div>\n

Esempio.
\n Prendiamo due punti materiali (due palline) di massa assegnata connesse
\n da una molla di cui si conosce la costante elastica e che si suppone di
\n massa trascurabile. Se siamo nello spazio lontani da tutti gli altri corpi,
\n le uniche forze che si esercitano sul sistema sono le forze dovute alla
\n molla, una su ciascuna pallina, che dipendono dall’allungamento della
\n molla stessa rispetto alla lunghezza di equilibrio, cioe’ dipendono dalla
\n distanza reciproca tra le due palline. Se fossimo vicini ad altri corpi,
\n dovremmo tenere conto anche di altre eventuali forze sul sistema dovute
\n a tali altri corpi. Mettiamoci comunque nel caso piu’ semplice detto sopra.
\n Se conosciamo al tempo t=0 le posizioni e le velocita’ delle due palline
\n (velocita’ rispetto ad un riferimento), possiamo determinare le posizioni
\n e le velocita’ in tutti gli altri tempi, risolvendo le equazioni della
\n dinamica. <\/font><\/p>\n

\n <\/div>\n

Ora ci poniamo
\n il seguente problema. Supponiamo di avere fissato lo stato al tempo t=0
\n e di avere ottenuto il moto, cioe’ gli stati del sistema a tutti gli altri
\n tempi. Prendiamo il nostro stato iniziale (assegnazione di posizioni e
\n velocita’) e consideriamo un altro stato iniziale ottenuto TRASLANDO il
\n precedente secondo una determinata traslazione T: tutte le posizioni al
\n tempo t=0 e le velocita’ allo stesso tempo sono le stesse di prima pero’
\n tutte traslate secondo la stessa traslazione T. Come sara’ il moto del
\n sistema che risultera’ da questo stato iniziale?
\n Nel caso in esame la risposta e’ abbastanza intuitiva (purche’ il riferimento
\n nel quale si lavori sia inerziale): le palline evolveranno in modo tale
\n che, ad ogni tempo t, lo stato sara’ quello dell’altra evoluzione (quella
\n con stato iniziale non traslato), traslato con la solita Traslazione T.
\n
\n Se ci fosse stata un’altra forza agente sul sistema dovuta a corpi esterni
\n al sistema, il risultato detto sopra non sarebbe stato vero in generale:
\n per esempio se c’e’ un terzo corpo M tenuto fisso, con una seconda molla
\n attaccata ad una delle palline. Se consideriamo due stati iniziali delle
\n due palline (tenendo fisso M) identici se non per una diversa distanza
\n da M, a causa della differente forza tra M e le due palline, le evoluzioni
\n saranno tali che non differiranno per la sola traslazione iniziale. <\/font><\/p>\n

\n <\/div>\n

In ogni caso,
\n quando, agendo con una trasformazione sullo stato iniziale del sistema,
\n l’evoluzione che ne consegue e’ quella che si ha facendo agire la trasformazione
\n su ogni singolo stato ad ogni istante, si dice che il sistema e’ *simmetrico*
\n o *invariante* sotto la trasformazione detta. <\/font><\/p>\n

\n <\/div>\n

Detto cio’,
\n risultano i seguenti risultati notevoli. <\/font><\/p>\n

\n <\/div>\n

1) Considerando
\n la meccanica classica, si vede che tutti i sistemi fisici isolati (cioe’
\n non sottoposti a forze se non quelle generate all’interno del sistema
\n stesso) e descritti in sistemi di riferimento inerziali, sono simmetrici
\n sotto un insieme di trasformazioni che formano un gruppo detto gruppo
\n di Galileo. Tale gruppo di trasformazioni e’ decomponibile in 10 tipi
\n di trasformazioni *continue*. Un esempio sono le traslazioni che possono
\n essere lungo 3 direzioni differenti e di una distanza arbitraria e fissabile
\n in un insieme continuo di valori che include il valore nullo, corrispondente
\n alla traslazione nulla: lo stato del sistema rimane quello che era. Poi
\n ci sono le rotazioni attorno a 3 differenti assi e con angoli arbitrari
\n fissabili con continuita’ partendo dall’angolo nullo. C’e’ la traslazione
\n temporale (significa che traslo nel tempo ogni stato secondo un ritardo
\n T arbitrario) e le 3 trasformazioni di Galileo pure (che corrispondono
\n a cambiare riferimento inerziale quando interpretate passivamente, ma
\n non mi addentro in cio’).
\n NB. Le trasformazioni di sopra sono “continue” nel senso illustrato, ma
\n ne esistono anche di non continue: per esempio, dato uno stato del sistema,
\n posso costruire lo stato trasformato che corrisponde all’immagine che
\n ho del sistema riflettendolo in uno specchio: non c’e’ modo di passare
\n con continuita’ dallo stato non trasformato a quello trasformato in questo
\n caso. <\/font><\/p>\n

\n <\/div>\n

2) Considerando
\n un sistema fisico classico, si scopre in molti casi, che SE il sistema
\n e’ simmetrico sotto una certa traformazione *continua*, ALLORA c’e’ una
\n grandezza fisica in qualche modo legata alla traformazione detta, che
\n si conserva numericamente sul moto del sistema. <\/font><\/p>\n

\n <\/div>\n

Esempio,
\n se un sistema fisico e’ simmetrico sotto l’azione delle traslazioni lungo
\n una direzione, allora si conserva l’impulso (o quantita’ di moto) totale
\n del sistema nella direzione considerata. <\/font>Questo
\n significa che qualunque moto del sistema considero, il valore numerico
\n della quentita’ di moto lungo la direzione considerata non varia nel tempo
\n (ma puo’ dipendere dal moto scelto). <\/font><\/p>\n

\n <\/div>\n

Alla simmetria
\n (o invarianza) sotto rotazioni corrisponde la conservazione del momento
\n angolare lungo l’asse di rotazione, all’invarianza sotto traslazioni temporali
\n corrisponde la conservazione dell’energia. (Le trasformazioni pure di
\n Galileo forniscono una legge di conservazione equivalente al “teorema
\n del centro di massa”). Le relazioni dette tra simmetrie e leggi di conservazione
\n vengono dimostrate separatamente ed analizzando i vari casi. <\/font><\/p>\n

\n <\/div>\n

La domanda
\n che ci si pone spontaneamente e’ se ci sia un modo generale di studiare
\n il legame tra simmetrie del sistema e leggi di conservazione, cioe’ se
\n ci sia un teorema generale che sottenda tale profonda relazione. La risposta
\n e’ positiva se si usa la Formulazione Lagrangiana della dinamica.
\n Tale formulazione ha l’enorme vantaggio che puo’ essere generalizzato
\n anche a sistemi non classici, ossia sistemi fisici relativistici (almeno
\n in relativita’ spaciale). Esiste anche una generalizzazione quantistica,
\n che include anche le trasformazioni non continue, ma non mi addentrero’
\n in cio’. Detto in modo succinto, nella formulazione lagrangiana della
\n dinamica, si assume che i sistemi fisici abbiano associata una funzione,
\n del tempo, e dello stato detta (funzione) lagrangiana del sistema. Formalmente,
\n se Q indica l’insieme delle posizioni che determinano il sistema e Q’
\n quello delle velocita’: <\/font><\/p>\n

\n <\/div>\n

L = L(t,Q,Q’)
\n <\/font><\/p>\n

\n <\/div>\n

Se il sistema
\n e’ continuo la funzione viene rimpiazzata da una “densita’ di lagrangiana”,
\n ma cio’ non e’ essenziale per quello che seguira’. Una volta nota la lagrangiana
\n del sistema, esistono equazioni dette di Eulero-Lagrange che, costruite
\n con tale funzione, forniscono lo stato del sistema ad ogni istante t quando
\n risolte e quando e’ stato assegnato uno stato iniziale t=0. Per i sistemi
\n meccanici classici, tali equazioni coincidono con quelle di Newton alle
\n quali ci siamo riferiti sopra. La cosa importante e’ che ora, una determinata
\n traformazione continua T, puo’ essere fatta agire su L stessa, ottenendo
\n <\/font><\/p>\n

\n <\/div>\n

L(Tt,TQ,TQ’)
\n <\/font><\/p>\n

\n <\/div>\n

si dimostra
\n che se per ogni scelta di t, Q, Q’ vale <\/font><\/p>\n

\n <\/div>\n

L(Tt,TQ,TQ’)=
\n L(t,Q,Q’) (1) <\/font><\/p>\n

\n <\/div>\n

per ogni
\n T dell’insieme continuo di trasformazioni considerato, allora il sistema
\n fisico e’ simmetrico sotto T, nel senso detto sopra riguardo ai moti del
\n sistema stesso. Tuttavia la (1) implica anche un altro ben piu’ importante
\n risultato detto “Teorema di Noether”. Se vale la (1) con le precisazioni
\n dette sopra, allora c’e’ una grandezza fisica che si conserva lungo i
\n moti del sistema, che puo’ essere scritta esplicitamente in funzione di
\n T e L (non riporto la formula per evitare inutili tecnicismi). Ci sono
\n osservazioni importanti.<\/font><\/p>\n

\n <\/div>\n

1) Il teorema
\n detto puo’ essere esteso a trasformazioni anche molto diverse da quelle
\n del gruppo di Galileo dette sopra ed in contesti molto piu’ vasti (teorie
\n dei campi relativistiche). La stessa conservazione della carica elettrica
\n puo’ essere provata derivare dal teorema di Noether quando si ha simmetria
\n sotto le cosiddette “trasformazioni di gauge”. <\/font><\/p>\n

\n <\/div>\n

2) Nel caso
\n relativistico (relativita’ speciale), il teorema di Noether nella sua
\n forma piu’ generale si enuncia considerando quella che viene detta “azione”
\n del campo piuttosto che riferendosi alla densita’ di Lagrangiana. Nel
\n caso relativistico, la grandezza che si conserva risulta sempre essere
\n una componente di un quadrivettore (vettore in 4 dimensioni nello spaziotempo)
\n spesso detto “corrente” o “quadricorrente” associata alla simmetria del
\n sistema.<\/font><\/p>\n

\n <\/div>\n

3) E’ possibile
\n estendere ancora di piu’ il risultato usando una formulazione matematica
\n della dinamica dei sistemi detta Formulazione di Hamilton. Con tale formulazione,
\n tra le altre cose, si crea un ponte con la meccanica quantistica in cui
\n il teorema di Noether si emancipa dalla richiesta di invarianza sotto
\n trasformazioni *continue*. <\/font><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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