{"id":623,"date":"2004-01-23T00:00:00","date_gmt":"2004-01-22T23:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"623","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/623\/","title":{"rendered":"Come si inserisce la costante di Boltzmann nel rumore delle antenne?"},"content":{"rendered":"

<\/p>\n

Nei sistemi radio, vi sono svariate sorgenti che causano rumore: naturali
\ne artificiali.
\n<\/font><\/p>\n

\nLa costante di Boltzmann1<\/sup><\/a>
\n\u00e8 utilizzata per calcolare la potenza
\ndi rumore causata dal moto delle cariche elettriche, denominato
\nrumore termico<\/i>
\npoich\u00e9 l’intensit\u00e0 \u00e8 direttamente proporzionale alla temperatura o
\nrumore bianco<\/i> in analogia con la luce del sole poich\u00e9 copre una vastissima
\ngamma di frequenze.
\n<\/font><\/p>\n

\nLe antenne non aggiungono rumore termico in quanto sono elementi
\npassivi. Esse captano rumore termico poich\u00e9 sono puntate e “vedono”
\nl’antenna trasmittente ad una temperatura T<\/b>.
\nLa fluttuazione casuale dei
\nportatori di carica in un filo metallico genera una tensione aleatoria ai
\nsuoi capi. La distribuzione del valore di tensione \u00e8 del tipo gaussiano.
\n<\/font><\/p>\n

\nAlla fine degli anni venti i ricercatori dei laboratori Bell erano in
\npieno fermento. La recente scoperta delle onde corte faceva intravedere la
\npossibilit\u00e0 di realizzare canali telefonici intercontinentali ed il
\nproblema del rumore andava indagato a fondo. Sono di questo periodo:
\nil teorema di Wiener-Khintchine, i teoremi di Nyquist ed i lavori
\nsperimentali di Johnson e Jansky2<\/sup><\/a>.
\nEbbene la bellezza di tutto
\nquesto lavoro fu nel fatto che noi possiamo trattare il rumore di natura
\naleatoria come se fosse un segnale deterministico, poich\u00e9 la statistica
\ntemporale della tensione elettrica ai capi di un oggetto
\nmetallico3<\/sup><\/a>
\nha lo stesso valore di quella di n<\/tt> oggetti nello stesso istante t<\/tt>
\n(Il rumore termico \u00e8 un segnale stocastico ed ergodico).
\n<\/font><\/p>\n

\nPossiamo quindi determinare esattamente il valore della potenza:
\n<\/font><\/p>\n

\n
\n P = KTB
\n<\/b>
\n<\/font><\/p><\/blockquote>\n

\nDove P \u00e8 la potenza espressa in watt, T la temperatura in gradi Kelvin,
\nB la banda in Hz e K la costante di Boltzmann
\n(1.38\u00a010-21<\/sup>\u00a0J\/K).
\n<\/font><\/p>\n

\nIn un radioricevitore vi sono due sorgenti di rumore termico: il
\nrumore captato dall’antenna ed il rumore introdotto internamente dal
\nricevitore. Il rumore termico captato dall’antenna dipende dall’effettiva
\ntemperatura che l’antenna “vede” nella direzione di puntamento.
\n<\/font><\/p>\n

\nIl limite della sensibilit\u00e0 di un ricevitore radio, idealmente raffreddato
\na 0\u00a0K per eliminare il rumore aggiunto,
\n\u00e8 proprio determinato dal valore
\nKTB “visto” dall’antenna ricevente.
\n<\/font><\/p>\n

\nIl rumore entrante in antenna \u00e8 amplificato dagli stadi amplificatori. Ci\u00f2
\nche conta in una comunicazione non \u00e8 l’intensit\u00e0 del segnale ma il
\nrapporto segnale rumore.
\n<\/font><\/p>\n

\n\u00c8 possibile sentire e vedere il rumore termico mediante un televisore
\nsintonizzato su una frequenza dove manca il segnale trasmittente
\n(nelle radio in banda FM, data l’occupazione selvaggia, \u00e8 molto raro
\ntrovare una frequenza libera). Alzando il potenziometro del volume
\nsi sente il soffio del rumore termico e si vedono sul cinescopio le
\nfluttuazioni casuali degli elettroni, effetto sabbia, prodotto dalla
\npotenza di rumore entrante in antenna.
\n<\/font><\/p>\n

\nPer vedere una buona immagine, senza l’effetto sabbia, il segnale deve
\navere una potenza di almeno 100 volte superiore, alla potenza del rumore
\ntermico entrante in antenna. Rapporto segnale\/rumore\u00a0≥\u00a0100.
\n<\/font><\/p>\n

\nNei collegamenti radio satellitari e nelle sonde \u00e8 comodo esprimere la potenza
\ntermica in temperatura di rumore equivalente. L’antenna ricevente,
\npuntata verso il cielo vede temperature nettamente inferiori rispetto ai
\ncollegamenti terrestri. Negli anni sessanta, grazie un colpo di fortuna,
\ntramite un’antenna radio fu misurata, senza saperlo, la radiazione di
\nfondo dell’universo.
\n<\/font><\/p>\n

\nMerita raccontarlo. Nel 1963 due ingegneri, Penzias e Wilson della solita
\nBell, incaricati di perfezionare un antenna molto direttiva per i
\ncollegamenti satellitari, trovarono uno strano rumore, di circa 5 gradi
\nKelvin, proveniente da qualsiasi direzione del cielo sia di giorno che di
\nnotte. Per un anno tribolarono nella diagnostica convinti che la causa
\nfosse l’apparato. Nel dicembre del 1964 Penzias si lament\u00f2 del fatto con
\nun collega, il quale era a conoscenza dei lavori di Peebles con il suo
\ngruppo dell’universit\u00e0 di Princenton. Fu sufficiente una telefonata e
\ntutto fu chiarito.
\n<\/font><\/p>\n

\nQuesto gruppo di scienziati, in un brillantissimo lavoro fisico-matematico,
\nconcluse che l’eco dell’esplosione del Big Bang dovesse essere
\nattorno a 3 gradi Kelvin e che si sarebbe manifestato come rumore di
\nfondo in un sistema ricevente molto sensibile.
\n<\/font><\/p>\n

\nI due ingegneri della Bell presero il Nobel per la Fisica. Immaginate
\nla faccia e le polemiche di Peebles, Dicke, Roll, Wilkinson dell’universit\u00e0
\ndi Princenton.
\n<\/font><\/p>\n

\nNel 1989 ricevitori sofisticati posti sul satellite COBE<\/i>
\nindicarono che la
\nradiazione di fondo \u00e8 quella di un corpo a temperatura di 2.725 gradi
\nKelvin con una precisione dello 0.002%.
\n<\/font><\/p>\n<\/p>\n\n

\nNota 1:<\/b><\/a> Boltzmann:nell’ottocento formul\u00f2 un’equazione semplicissima
\nla quale afferma che l’entropia di qualunque distribuzione di atomi \u00e8
\nproporzionale al logaritmo del numero dei modi equivalenti in cui tale
\ndistribuzione pu\u00f2 essere realizzata.
\n<\/font><\/p>\n<\/p>\n

\n
\nS = K log W
\n<\/b>
\n<\/font><\/p><\/blockquote>\n

\nDove S<\/tt> \u00e8 l’entropia, W<\/tt> rappresenta il numero dei possibili modi in cui
\npu\u00f2 essere ottenuta una data distribuzione di atomi nelle celle e log<\/tt>
\nindica il logaritmo
\n<\/font><\/p>\n

\nLa formula ha dell’incredibile se si pensa che gli atomi sono
\nin moto caotico, continuamente in collisione tra loro, accelerano,
\nrallentano, cambiano direzione, sempre in modi imprevedibili, ma la loro
\ndistribuzione media di velocit\u00e0 segue una formula semplice.
\n<\/font><\/p>\n

\nNel 1877 Boltzmann non conosceva in modo preciso il numero di atomi
\nin volume assegnato di gas e non era in grado quindi di calcolare il K della
\nsua equazione.
\n<\/font><\/p>\n

\nNota 2:<\/b><\/a> Johnson fu il primo a calcolare nel 1928
\nla costante di
\nBoltzmann, K<\/b>, dopo aver misurato la potenza di rumore amplificata da
\nun ricevitore. Nei libri d testo americani il rumore termico \u00e8 anche
\nchiamato Johnson’s noise<\/i>.
\n<\/font><\/p>\n

\nJansky merita una citazione perch\u00e9 cap\u00ec che il rumore che stava
\nregistrando con pazienza da anni era variabile nel tempo e si convinse
\nche la sorgente fosse il centro della via lattea. Era il 1932 e nessuno
\ngli diede credito.
\n<\/font><\/p>\n

\nNota 3:<\/b><\/a>
\nDal punto di vista strettamente teorico esiste una probabilit\u00e0 non nulla
\nche tenendo in mano un mazzo di chiavi si possa morire fulminati. Meno
\nmale che \u00e8 pi\u00f9 o meno la stessa che una pallina da golf attraversi un
\nmuro anzich\u00e9 rimbalzare.<\/p>\n

<\/font><\/p>\n

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