Prima di rispondere alla domanda del lettore, richiamiamo brevemente le nozioni di geometria proiettiva necessarie. <\/p>\n
Si immagini di “cavalcare” una retta e di guardare alternativamente verso le due direzioni della retta che si stagliano verso l\u2019infinito. La retta sembra puntare in direzione di un punto ben definito, all\u2019infinito. Questo punto all\u2019infinito, per il fatto di non essere un punto identificabile “come tutti gli altri”, lo chiameremo “punto improprio” (daremo una definizione pi\u00f9 rigorosa di questo punto in seguito). <\/p>\n
Si immagini ora di stare in piedi su di un piano infinito. Ruotando la testa a 360\u00b0, il piano infinito sembra disegnare una retta. Anche in questo caso, non \u00e8 una retta come le altre, e noi la definiremo “retta impropria”. <\/p>\n
In geometria proiettiva, si definscono punto improprio, retta impropria, piano improprio, spazio improprio le proiezioni che questi esercitano sui punti all\u2019infinito. Questo artifizio logico \u00e8 stato introdotto da Desargues nel 1639 da un\u2019intuizione destinata a risolvere essenzialmente il fatto che tutte le rette hanno un punto in comune salvo … le rette parallele. L\u2019idea di Desargue era di introdurre un punto, il punto improprio, che rappresenti l\u2019unico punto in comune che possono avere due rette parallele: il punto all\u2019infinto. La retta proiettiva \u00e8 definita unendo alla retta “convenzionale” il suo punto improprio. In geometria proiettiva quindi si unifica la propriet\u00e0 delle rette di avere un punto in comune, anche quando queste sono parallele. <\/p>\n
Si osservi che il processo di costruzione dello spazio proiettivo da uno spazio euclideo \u00e8 replicabile a prescindere dalla dimensione dello spazio euclideo stesso, in generale, quindi, se uno spazio euclideo ha dimensione n, il relativo sottospazio improprio avr\u00e0 dimensione n-1 e lo spazio proiettivo si ottiene dall\u2019unione dello spazio euclideo e del relativo sottospazio improprio. <\/p>\n
Quindi, per n = 1 siamo nel caso dello spazio euclideo unidimensionale, rappresentato appunto da una retta. Il sotto-spazio improprio di una retta ha dimensione n-1 = 0 ed \u00e8 un punto, detto punto improprio. Ricordiamo che il punto \u00e8 a-dimensionale, ovvero ha dimensione nulla. La retta proiettiva \u00e8 data dall\u2019unione della retta euclidea e del relativo punto improprio. <\/p>\n
Nel caso n = 2 siamo nel caso dello spazio euclideo bidimensionale, il piano. Per quanto detto sopra, il sotto-spazio improprio del piano ha dimensione n-1 = 1 ed \u00e8 una retta, detta retta impropria. L\u2019unione del piano euclideo e della retta impropria costituisce il piano proiettivo. <\/p>\n
Nel caso n = 3 siamo nel caso dello spazio euclideo tridimensionale. Ancora, il sotto-spazio improprio dello spazio euclideo ha dimensione n-1 = 2 ed \u00e8 un piano, il piano improprio. Lo spazio proiettivo a 3 dimensioni \u00e8 quindi costituito dallo spazio euclideo completato della retta impropria. <\/p>\n
Aumentando n per valori generici si ottiene appunto che lo spazio proiettivo n-dimensionale si ottiene estendendo lo spazio euclideo n-dimensionale dei punti all\u2019infinito che costituiscono il sotto-spazio improprio di dimensione n-1. <\/p>\n
Si osservi che il concetto di intersezione \u00e8 mantenuto a prescindere dalla dimensione dello spazio proiettivo: cos\u00ec come il punto improprio \u00e8 l\u2019intersezione di due rette parallele, la retta impropria \u00e8 l\u2019intersezione di due piani paralleli. Il processo \u00e8 estendibile anche per dimensioni superiori, ma perde la facilit\u00e0 di essere intuitivamente e “geometricamente” visualizzabile. <\/p>\n
In questo senso, \u00e8 possibile rispondere alla domanda del lettore osservando che i vettori che giacciono sulla retta impropria sono dati da tutti i vettori del piano proiettivo non contenuti nel piano euclideo. Tali vettori non sono ovviamente di intuitiva visualizzazione, ma devono essere considerati come una estensione proiettiva dei vettori contenuti nel piano euclideo a due dimensioni.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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