{"id":619,"date":"2006-09-05T00:00:00","date_gmt":"2006-09-04T22:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"619","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/619\/","title":{"rendered":"Assioma della scelta: cosa afferma e quali sono le sue conseguenze?"},"content":{"rendered":"

L’assioma della scelta \u00e8 classicamente l’ultimo assioma della Teoria assiomatica degli insiemi, il decimo quindi, essendo abbastanza particolare per molti aspetti.<\/p>\n

Anzitutto \u00e8 un assioma per il quale fin dall’inizio si \u00e8 sospettato si trattasse di un Teorema, ma poi a tutti gli effetti \u00e8 stato dimostrato che si tratta di un assioma, per giunta coerente con il resto della Teoria assiomatica, il che lo rende a prova di bomba. Ciononostante esiste un’ampia categoria di matematici che non accettano l’assioma della scelta, non sembrando naturale. Io personalmente ritengo che sia una posizione abbastanza ragionevole. <\/p>\n

Detto in parole povere, l’assioma della scelta afferma che dato un insieme esiste una funzione che associa ad ogni sottoinsieme non vuoto un elemento del sottoinsieme stesso; ovvero, tradotto, \u00e8 sempre possibile effettuare una “scelta” di elementi di un dato insieme.<\/p>\n

Tale assioma trova contro i matematici costruttivisti, per i quali un insieme ha senso solo se costruito mediante propriet\u00e0 di specificazione esplicite a partire da insiemi noti. In effetti l’assioma della scelta postula l’esistenza di un insieme (l’immagine di quella funzione) astratto, per il quale non sappiamo come siano fatti gli elementi. Essi non vengono selezionati mediante specificazione di una loro propriet\u00e0. <\/p>\n

Rifiutare l’assioma della scelta comporta parecchie perdite di risultati sostanziali in Matematica; ad esempio sull’assioma della scelta \u00e8 fondata l’esistenza di un insieme non misurabile. O ancora l’assioma della scelta (o il Lemma di Zorn, per essere pi\u00f9 precisi) \u00e8 alla base della dimostrazione di tanti Teoremi dell’Analisi Matematica, come ad esempio il celebre Teorema di Hahn-Banach, forse il pi\u00f9 bel risultato di Analisi funzionale lineare.<\/p>\n

Per approfondire, ecco tutti e dieci gli assiomi della Teoria Assiomatica degli Insiemi:<\/p>\n

    \n
  1. Assioma di estensionalit\u00e0: Due insiemi sono uguali se e solo se hanno gli stessi elementi.<\/li>\n
  2. Assioma dell’insieme vuoto: Esiste un insieme privo di elementi. Solitamente si usa il simbolo ∅<\/font> per indicare questo insieme vuoto.<\/li>\n
  3. Assioma della coppia: Se x<\/i>, y<\/i> sono insiemi, allora lo \u00e8 anche {x<\/i>,y<\/i>}, cio\u00e8 un insieme contenente x<\/i> e y<\/i> come unici elementi.<\/li>\n
  4. Assioma dell’unione: Ogni insieme ha un’unione. Cio\u00e8, per ogni insieme x<\/i> esiste un insieme y<\/i> i cui elementi sono esattamente gli elementi degli elementi di x<\/i>.<\/li>\n
  5. Assioma dell’infinito: Esiste un insieme x<\/i> tale che ∅ <\/font>\u00e8 in x<\/i> e ogni volta che y<\/i> \u00e8 in x<\/i>, lo \u00e8 anche l’unione y<\/i> U {y<\/i>}.<\/li>\n
  6. Assioma di separazione (o assioma del sottoinsieme): Dato un insieme qualsiasi e una generica proposizione P(x<\/i>), esiste un sottoinsieme dell’insieme originale contenente esattamente gli elementi x<\/i> per cui vale P(x<\/i>).<\/li>\n
  7. Assioma di rimpiazzamento: Dato un qualsiasi insieme e un’applicazione generica, formalmente definita come una proposizione P(x<\/i>,y<\/i>) dove P(x<\/i>,y<\/i>) e P(x<\/i>,z<\/i>) implicano y<\/i> = z<\/i>, esiste un insieme contenente precisamente le immagini degli elementi originali dell’insieme.<\/li>\n
  8. Assioma dell’insieme potenza: Ogni insieme ha un insieme potenza. Cio\u00e8, per ogni insieme x<\/i> esiste un insieme y<\/i>, tale che gli elementi di y<\/i> sono esattamente i sottoinsiemi di x<\/i>.<\/li>\n
  9. Assioma di regolarit\u00e0 (o assioma della fondatezza): Ogni insieme non vuoto x<\/i> contiene un certo elemento y<\/i> tale che x<\/i> e y<\/i> sono insiemi disgiunti<\/li>\n
  10. Assioma della scelta (versione di Zermelo): Dato un insieme x<\/i> di insiemi non vuoti mutualmente disgiunti, esiste un insieme y<\/i> (un insieme scelta<\/i> per x<\/i>) che contiene esattamente un elemento per ogni elemento di x<\/i>.<\/li>\n<\/ol>\n

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