{"id":604,"date":"2006-06-13T00:00:00","date_gmt":"2006-06-12T22:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"604","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/604\/","title":{"rendered":"Vorrei, se possibile, una dimostrazione comprensibile del seguente teorema: Sia T<\/i> : V<\/i> –> W un’applicazione lineare; allora <\/i>dim V<\/i> = dim Ker T<\/i> + rg T<\/i>."},"content":{"rendered":"

Anzitutto va precisato che il Teorema eunciato ha senso se V<\/span> ha dimensione finita. Ricordiamo inoltre le posizioni: KerT \u00e8 il nucleo dell’applicazione T, ovvero il sottospazio di V<\/span> di tutti quei vettori v tali che T(v)=0. Inoltre rgT sta per dim ImT, ovvero la dimensione dell’immagine dell’applicazione T, essendo l’immagine il sottospazio di W<\/span> dei vettori w tali per cui esiste v con T(v)=w, sostanzialmente la solita definizione di immagine di una funzione.<\/p>\n

Quanto alla dimostrazione si pu\u00f2 procedere cos\u00ec:<\/p>\n

Caso 1)<\/span> rg T=0; dunque ImT=(0) , e dunque V<\/span>=KerT, da cui ovviamente la validit\u00e0 della formula.<\/p>\n

Caso 2) <\/span>dim kerT=0, dunque KerT=(0); se B \u00e8 una base per V<\/span>, allora T(B) \u00e8 base per ImT, poich\u00e8 T \u00e8 iniettivo. Ma allora rgT=dim V<\/span>, quindi ancora la formula voluta.<\/p>\n

Caso generale) <\/span>Poniamo i=dim KerT, p=rgT=dim ImT; dobbiamo mostrare che dim V<\/span>=n=i+p. Sia B’=(e1<\/sub>,…,ei<\/sub>) una base per KerT, e B”=(w1<\/sub>,…,wp<\/sub>) una base per\u00a0 ImT. Ora esistono vj<\/sub> vettori di V<\/span> tali che T(vj<\/sub>)=wj<\/sub>; tali vettori sono tutti distinti e andiamo a dimostrare che l’insieme B=(e1<\/sub>,…,ei<\/sub>,v1<\/sub>,…,vp<\/sub>) \u00e8 una base per V<\/span>, avendo osservato che tale insieme B ha proprio cardinalit\u00e0 i+p. <\/p>\n

Mostriamo che B genera V<\/span>; ogni vettore T(v) <\/span>\u00e8 combinazione lineare dei wk<\/sub>, e quindi T(v)=T(combinazione lineare dei vj<\/sub>), da cui T(v-comb.lineare dei vj<\/sub>)=0, per cui v-comb.lineare dei vj <\/sub>\u00e8 combinazione lineare degli ei<\/sub>, da cui il fatto che B genera V<\/span>.<\/p>\n

Mostriamo ora che B \u00e8 libero; prendiamo una combinazione lineare di elementi di B, e supponiamo sia nulla. Allor applicando T otteniamo ancora 0; usando la linearit\u00e0 di T si trova che una combinazione lineare dei soli wk<\/sub> deve essere nulla, da cui nulli tutti i coefficienti di tale combinazione. Rimangono gli altri, quelli relativi agli elementi della base B’, che quindi anche loro debbono essere nulli, e cos\u00ec si conclude.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

[…]<\/p>\n","protected":false},"author":228,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[65],"tags":[],"class_list":["post-604","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-algebra"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/604","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/users\/228"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=604"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/604\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=604"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=604"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=604"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}