{"id":587,"date":"2003-12-09T00:00:00","date_gmt":"2003-12-08T23:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"587","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/587\/","title":{"rendered":"Nel calcolo della FFT (o DFT) di un’immagine il primo elemento della matrice ha un valore elevatissimo rispetto a tutti gli altri elementi. E’ significativo questo dato? Ha un significato fisico? E’ corretto prendere il modulo di ogni elemento?\r\nGrazie."},"content":{"rendered":"

<\/p>\n

La funzione DFT (Discrete Fourier Transform)
\n\u00e8 un algoritmo strettamente connesso con la classica trasformata di
\nFourier trasportata nel campo “discreto”.
\nLa funzione
\nFFT (Fast Fourier Transform) non
\n\u00e8 altro che una DFT calcolata mediante un algoritmo veloce (Fast).
\nQueste funzioni hanno la principale applicazione nello studio degli andamenti temporali
\ndi fenomeni effettuato con mezzi digitali.
\n<\/font><\/p>\n

\nDovendo analizzare un parametro che varia nel tempo, il suo valore dovr\u00e0
\nessere campionato<\/b>, ovvero registrato ad intervalli regolari
\ne la sequenza di campioni costituiscono i dati di ingresso del problema.
\n<\/font><\/p>\n

\nDetto V[i], i=1,..N il vettore contenente la sequenza dei campioni la corrispondente funzione DFT \u00e8
\ndefinita come:
\n<\/font><\/p>\n

\n\"\"\/
\n<\/font><\/p><\/blockquote>\n

Senza entrare nel merito delle definizioni formali e dello studio delle trasformate
\ndiscrete, possiamo per\u00f2 dire che il risultato dalla DFT
\n\u00e8 un vettore della stessa lunghezza del vettore dei campioni,
\ni cui elementi
\nsi possono interpretare come le componenti periodiche (o “spettrali”)
\ndell’andamento temporale del fenomeno osservato.
\nOvvero il fenomeno viene interpretato come la composizione di singole componenti
\nsinusoidali a diverse frequenze combinate linearmente fra loro. I valori
\nrisultanti dalla DFT sono i coefficienti della combinazione
\nlineare1<\/sup><\/a>.
\n<\/font><\/p>\n

\nIl termine di indice 0 (il primo del vettore risultante) \u00e8 quello connesso alla componente
\na frequenza 0 (ovvero alla parte costante del fenomeno osservato). Quando tale
\nvalore \u00e8 diverso da zero significa solamente che il fenomeno non
\n\u00e8 a media nulla. Questo nel caso, ad esempio, di segnali elettrici si traduce nel fatto che la
\n“componente continua” \u00e8 diversa da zero.
\n<\/font><\/p>\n

\nA titolo di
\nesempio mostriamo una simulazione di un fenomeno molto semplice
\nottenuto
\nsommando fra loro tre funzioni periodiche (sinusoidali). Nelle seguenti
\nfigure
\nsono mostrate le tre funzioni (Figura 1) e la funzione risultante dalla
\nloro somma
\n(Figura 2, f1 (tratto rosso)). Sempre in Figura 2, con tratto verde,
\nviene mostrata una seconda
\nfunzione f2, ottenuta dalla f1 sottraendo il valore medio. La funzione
\nf2 ha quindi esattamente le stesse componenti periodiche di f1, ma ha
\nmedia nulla.
\n<\/font><\/p>\n\n\n\n\n
\"\"\/<\/td>\n \"\"\/<\/td>\n<\/tr>\n
Figura 1 – Componenti dei segnali <\/td>\n Figura 2 – Segnali da analizzare (f1, f2) <\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

\nNelle Figure 3 e 4 sono mostrate le prime componenti2<\/sup><\/a>
\ndelle funzioni DFT
\ncalcolate rispettivamente sulla funzione f1 ed f2. \u00c8 evidente come l’unica
\ndifferenza sia rappresentata dal valore della componente di indice 0.
\n<\/font><\/p>\n\n\n\n\n
\"\"\/<\/td>\n \"\"\/<\/td>\n<\/tr>\n
Figura 3 – DFT(f1) <\/td>\n Figura 4 – DFT(f2) <\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

\nSpesso avendo calcolato la DFT di un segnale, si utilizza un vettore le
\ncui componenti sono calcolate come il quadrato del modulo delle
\ncomponenti della DFT. Tale vettore \u00e8 chiamato “spettro di potenza”
\ndel segnale e corrisponde alla percentuale della potenza complessiva del
\nsegnale derivante da ciascuna componente spettrale3<\/sup><\/a>.
\n<\/font><\/p>\n<\/p>\n\n

(1)<\/a> Le cose sono in realt\u00e0 pi\u00f9 complesse (nel
\nvero senso della parola) in quanto la DFT \u00e8 in generale un vettore a valori
\ncomplessi da cui \u00e8 possibile ricavare ampiezza e fase della componente relativa.
\n<\/font><\/p>\n

\n(2)<\/a> Tutte le componenti successive non mostrate nel grafico
\nsono nulle, perch\u00e9 il segnale \u00e8 la somma di tre sole componenti
\nperiodiche e nella DFT mancano quindi i termini a frequenze pi\u00f9 alte.<\/p>\n

<\/font><\/p>\n

\n(3)<\/a> I valori mostrati nei grafici delle figure 3 e 4
\nsono in realt\u00e0 lo spettro di potenza delle rispettive DFT.<\/p>\n

<\/font><\/p>\n

\u00a0 <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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