{"id":518,"date":"2004-11-19T00:00:00","date_gmt":"2004-11-18T23:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"518","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/518\/","title":{"rendered":"&Egrave; possibile enunciare e dimostrare il teorema fondamentale dell&#8217;aritmetica?"},"content":{"rendered":"<p align=\"justify\"><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\"><b>Teorema [Teorema Fondamentale dell&#8217;Aritmetica].<br \/>\n<\/b><i>Ogni numero intero N<\/i>\u00a0<img decoding=\"async\" valign=\"middle\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/img\/neq.gif\" alt=\"\"\/>\u00a00<i> pu\u00f2 essere scritto come prodotto <\/i><\/font><\/p>\n<p align=\"center\">\n<font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\"><i>N\u00a0=\u00a0c\u00a0p<\/i><sub>1<\/sub>\u00a0<i>p<\/i><sub>2<\/sub>\u00a0<sup>&#8230;<\/sup>\u00a0<i>p<sub>k<\/sub>,<br \/>\n<\/i><\/font><\/p>\n<p align=\"justify\"><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\"><i>dove c<\/i>\u00a0=\u00a0<img decoding=\"async\" valign=\"middle\" src=\"..\/..\/esperti\/mat\/img\/pm.gif\" alt=\"\"\/>1<i> e p<sub>i<\/sub><\/i>\u00a0&gt;\u00a00<i> sono numeri primi<br \/>\n(i<\/i>\u00a0=\u00a01,\u00a0&#8230;,\u00a0<i>k). Questa espressione \u00e8 unica<br \/>\na meno dell&#8217;ordine dei fattori. <\/i><\/font><\/p>\n<p><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\"><br \/><\/font><\/p>\n<p align=\"justify\"><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\">Prima di procedere nella dimostrazione di questo<br \/>\nrisultato, facciamo una serie di osservazioni, che ci permetteranno di<br \/>\npenetrarne meglio l&#8217;importanza ed eleganza, spesso offuscate dall&#8217;apparente<br \/>\nsemplicit\u00e0. <\/font><\/p>\n<ul><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\"><\/p>\n<li>\n<p align=\"justify\">Che cosa si intende per <i>numero<br \/>\nprimo<\/i>?<br \/>\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0I numeri primi possono<br \/>\nessere considerati come i veri e propri &#8220;mattoni&#8221; su cui \u00e8 costruita<br \/>\nl&#8217;intera aritmetica.  La definizione \u00e8 semplicissima: un numero intero<br \/>\ne positivo \u00e8 primo se e solo se \u00e8 divisibile soltanto per se<br \/>\nstesso e per 1 (ci limitiamo a considerare solo i divisori positivi).<br \/>\nSottolineiamo che, per motivi che chiariremo in seguito, 0 e 1 <u>non<\/u> sono<br \/>\nconsiderati numeri primi. <\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p align=\"justify\">\u00c8 possibile dare una definizione alternativa di<br \/>\nnumero primo: <\/p>\n<p align=\"justify\"><b>Propriet\u00e0 1.  <\/b><i>Sia p un numero intero<br \/>\npositivo diverso da <\/i>0<i> e da <\/i>1<i>; p \u00e8 primo se e soltanto se,<br \/>\nogni qualvolta p divide un prodotto ab, divide almeno uno dei due fattori<br \/>\n(cio\u00e8 p divide a oppure p divide b).<\/i> <\/p>\n<p align=\"justify\">Osserviamo immediatamente che questa condizione non \u00e8<br \/>\npi\u00f9 vera se <i>p<\/i> non \u00e8 primo.  Per esempio, 6 divide<br \/>\n4\u00a0<sup>.<\/sup>\u00a03\u00a0=\u00a012, ma non divide n\u00e9 4 n\u00e9<br \/>\n3. <br \/>\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Per la dimostrazione<br \/>\ndell&#8217;equivalenza di queste due definizioni (una delle due implicazioni viene<br \/>\nspesso citata in letteratura come <i>Lemma di Euclide<\/i>) rimandiamo alla<br \/>\nbibliografia consigliata.  Osserviamo che questa definizione trova la sua<br \/>\nimportanza nella possibilit\u00e0 di estendere il concetto di elemento primo<br \/>\nin ambienti pi\u00f9 generali, di cui i numeri interi costituiscono un caso<br \/>\nparticolare (domini d&#8217;integrit\u00e0, domini euclidei, elementi primi ed<br \/>\nelementi irriducibili) <\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p align=\"justify\">Quanti sono i numeri primi?<\/p>\n<p>L&#8217;esistenza dei numeri primi \u00e8 abbastanza ovvia, basta considerare 2<br \/>\nper esempio (\u00e8 divisibile solo da 1 e 2!), oppure 3, 5, 7 etc&#8230;  Un<br \/>\nfatto meno banale \u00e8 che <i>tali numeri sono infiniti<\/i>. La<br \/>\ndimostrazione di questo fatto risale ad Euclide (300 a.C. circa) e si basa su<br \/>\nun procedimento <i>ad absurdum<\/i> (metodo indiretto). Supponiamo per assurdo<br \/>\nche i numeri primi siano finiti:<br \/>\n<i>p<\/i><sub>1<\/sub>,\u00a0&#8230;,\u00a0<i>p<\/i><sub>k<\/sub> e definiamo <\/p>\n<p align=\"center\"><i>M<\/i>\u00a0=\u00a0<i>p<\/i><sub>1<\/sub>\u00a0<i>p<\/i><sub>2<\/sub>\u00a0<sup>&#8230;<\/sup>\u00a0<i>p<sub>k<\/sub><\/i>\u00a0+\u00a01. <\/p>\n<p align=\"justify\">Questo numero \u00e8 chiaramente diverso da tutti i<br \/>\n<i>p<sub>i<\/sub><\/i> e quindi &#8212; per ipotesi &#8212; deve essere divisibile da<br \/>\nalmeno uno dei numeri primi precedenti (altrimenti sarebbe primo!).  Ma questo<br \/>\n\u00e8 impossibile in quanto il resto della divisione per uno qualsiasi dei<br \/>\n<i>p<sub>i<\/sub><\/i> \u00e8 sempre 1.  In altre parole, partendo<br \/>\ndall&#8217;ipotesi che i numeri primi sono in numero finito, si costruisce un nuovo<br \/>\nnumero primo diverso dai precedenti. (Si veda anche una precedente <a target=\"_blank\" href=\"http:\/\/www.vialattea.net\/esperti\/php\/risposta.php?num=8713#demo\">risposta<\/a> di Luca Fini)\n<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p align=\"justify\">Cerchiamo ora di comprendere meglio l&#8217;importanza del<br \/>\nteorema fondamentale dell&#8217;aritmetica.<br \/>\n<br \/>\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Consideriamo il seguente paragone.<br \/>\n<br \/>\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Possiamo pensare ai numeri interi<br \/>\npositivi come delle <i>parole<\/i>.  Chi svolge il ruolo dell&#8217;<i>alfabeto<\/i><br \/>\nin questo caso?  Il teorema fondamentale dell&#8217;aritmetica ci dice che tale<br \/>\nruolo \u00e8 svolto dai numeri primi: ogni <i>numero\/parola<\/i> pu\u00f2<br \/>\nessere scritto come <i>prodotto\/sequenza<\/i> di <i>numeri primi\/lettere<\/i><br \/>\n(tralasciamo per un attimo la presenza della <i>c<\/i> dell&#8217;enunciato del<br \/>\nteorema: se il numero \u00e8 positivo, <i>c<\/i>\u00a0=\u00a0+1).  C&#8217;\u00e8<br \/>\nuna differenza per\u00f2.  Mentre nel caso delle parole, ogni sequenza di<br \/>\nlettere determina unicamente la parola (un anagramma rappresenta una parola<br \/>\ndiversa!), nel nostro caso cambiano l&#8217;ordine nel prodotto otteniamo lo stesso<br \/>\nnumero (propriet\u00e0 commutativa del prodotto).  Per questo motivo si<br \/>\nparla di unicit\u00e0 <i>a meno dell&#8217;ordine dei fattori<\/i>, cio\u00e8<br \/>\nunicit\u00e0 dei &#8220;mattoni&#8221; che costituiscono il numero, ma non dell&#8217;ordine<br \/>\ncon cui li disponiamo! <br \/>\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Chiaramente lo<br \/>\nstesso ragionamento si applica ai numeri negativi, semplicemente scegliendo<br \/>\n<i>c<\/i>\u00a0=\u00a0-1. <\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p align=\"justify\">Quanto detto sopra permette di dare una spiegazione (non<br \/>\nl&#8217;unica possibile!) al fatto che 1 non \u00e8 considerato un numero primo.<br \/>\nInfatti, se lo considerassimo primo, perderemmo l&#8217;unicit\u00e0 anche a meno<br \/>\ndell&#8217;ordine.  Pi\u00f9 in dettaglio, se 1 fosse primo, potremmo includere<br \/>\nnella nostra rappresentazione un numero arbitrario di 1 (tanto moltiplicare<br \/>\nper 1 non altera il risultato finale) e quindi non avremmo pi\u00f9 un unico<br \/>\ninsieme di &#8220;mattoni&#8221; che definiscono il nostro numero.  Per riprendere il<br \/>\nparagone di prima, \u00e8 come se esistesse una lettera jolly * priva di<br \/>\nalcun suono e significato; in questo modo la parola NUMERO e la parola<br \/>\n**N*U****MER*O** sarebbero la stessa e non potremmo pi\u00f9 parlare di<br \/>\nunicit\u00e0 di scrittura! <\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p align=\"justify\">La scomposizione di un numero <i>N<\/i> nella forma<br \/>\ndell&#8217;enunciato del teorema prende il nome di <i>scomposizione in fattori<br \/>\nprimi<\/i> (o <i>irriducibili<\/i>).  Il teorema fondamentale dell&#8217;aritmetica ci<br \/>\ndice che tale fattorizzazione \u00e8 unica (nel senso spiegato sopra).<br \/>\nL&#8217;insieme dei numeri interi rappresenta quindi un esempio di <i>dominio a<br \/>\nfattorizzazione unica<\/i> (UFD, dall&#8217;inglese <i>Unique Factorization<br \/>\nDomain<\/i>). <br \/>\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Questi domini sono stati<br \/>\nstudiati in contesti pi\u00f9 generali e astratti del caso numerico, quali<br \/>\nad esempio anelli di polinomi, interi di Gauss etc.  Per maggiori informazioni<br \/>\nsu questi domini, rimandiamo alla bibliografia consigliata. <\/p>\n<\/li>\n<p><\/font><\/ul>\n<p><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\"><br \/><\/font><\/p>\n<p><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\">Veniamo ora alla dimostrazione  del nostro Teorema. <\/font><\/p>\n<p align=\"justify\"><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\"><i>Dimostrazione (teorema fondamentale dell&#8217;aritmetica).<br \/>\n<\/i>Cominciamo dimostrando l&#8217;<i>esistenza<\/i> di una simile fattorizzazione.<br \/>\nSupponiamo che sia <i>N<\/i>\u00a0&gt;\u00a00 (altrimenti basta prendere<br \/>\n<i>c<\/i>\u00a0=\u00a0-1 e considerare &#8211;<i>N<\/i>).<br \/>\n<br \/>\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Escludiamo subito i casi banali: <\/font><\/p>\n<ul><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\"><\/p>\n<li>\n<p align=\"justify\"><i>N<\/i>\u00a0=\u00a01.  In tal caso abbiamo gi\u00e0<br \/>\nla scomposizione richiesta: basta prendere <i>c<\/i>\u00a0=\u00a0+1 e<br \/>\n<i>k<\/i>\u00a0=\u00a00. <\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p align=\"justify\"><i>N<\/i>\u00a0=\u00a0<i>p<\/i> (<i>p<\/i> primo).  In tal<br \/>\ncaso la fattorizzazione \u00e8 data da <i>c<\/i>\u00a0=\u00a0+1,<br \/>\n<i>k<\/i>\u00a0=\u00a01 e <i>p<\/i><sub>1<\/sub>\u00a0=\u00a0<i>p<\/i>,<br \/>\ncio\u00e8:<\/p>\n<p align=\"center\"><i>N<\/i>\u00a0=\u00a0(+1)\u00a0<sup>.<\/sup>\u00a0<i>p<\/i>. <\/p>\n<\/li>\n<p><\/font><\/ul>\n<p align=\"justify\"><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\">Per dimostrare il risultato per ogni<br \/>\n<i>N<\/i>\u00a0&gt;\u00a01, procederemo per induzione completa su <i>N<\/i> (per<br \/>\nmaggiori informazioni su tale metodo, consultare qualsiasi testo tra quelli<br \/>\ncitati in bibliografia). <\/font><\/p>\n<p align=\"justify\"><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\"><i>Base induzione (N<\/i>\u00a0=\u00a02<i>). <\/i>Questo caso<br \/>\nrientra tra i casi banali appena discussi (<i>N<\/i> \u00e8 primo). <\/font><\/p>\n<p align=\"justify\"><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\"><i>Passo induttivo. <\/i>Assumiamo che il risultato sia vero<br \/>\nper tutti gli interi positivi minori di <i>N<\/i>.  Dimostriamo che \u00e8<br \/>\nvero anche per <i>N<\/i>.  Possiamo assumere che <i>N<\/i> non sia primo (in<br \/>\nquesto caso sappiamo gi\u00e0 che la fattorizzazione esiste, vedi i casi<br \/>\nbanali sopra): allora esiste un divisore proprio di <i>N<\/i>, cio\u00e8<br \/>\n<i>b<\/i>\u00a0&lt;\u00a0<i>N<\/i> tale che <i>N<\/i>\u00a0=\u00a0<i>bq<\/i>\u00a0<br \/>\n(il resto della divisione \u00e8 0 in quanto stiamo assumendo che <i>b<\/i><br \/>\ndivida <i>N<\/i>). Entrambi <i>b<\/i> e <i>q<\/i> sono minori di <i>N<\/i>, e<br \/>\nquindi per l&#8217;ipotesi induttiva sappiamo che esiste una loro fattorizzazione.<br \/>\nLa fattorizzazione di <i>N<\/i> sar\u00e0 data mettendo insieme la<br \/>\nfattorizzazione di <i>b<\/i> e quella di <i>q<\/i>.<br \/>\n<br \/>\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Questo completa la dimostrazione<br \/>\ndell&#8217;esistenza. <\/font><\/p>\n<p align=\"justify\"><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\">Mostriamo ora l&#8217;<i>unicit\u00e0<\/i> (a meno dell&#8217;ordine) di<br \/>\ntale fattorizzazione. <br \/>\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Supponiamo che<br \/>\n<\/font><\/p>\n<p><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\"> <\/font><\/p>\n<p align=\"center\"><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\"><i>p<\/i><sub>1<\/sub>\u00a0<i>p<\/i><sub>2<\/sub>\u00a0<sup>&#8230;<\/sup>\u00a0<i>p<sub>k<\/sub><\/i>\u00a0=<br \/>\n <i>N<\/i>\u00a0=\u00a0<i>q<\/i><sub>1<\/sub>\u00a0<i>q<\/i><sub>2<\/sub>\u00a0<sup>&#8230;<\/sup>\u00a0<i>q<sub>m<\/sub><\/i>.<br \/>\n <\/font><\/p>\n<p align=\"justify\"><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\">Applichiamo la Propriet\u00e0 1 (vedi sopra) prendendo<br \/>\n<i>p<\/i>\u00a0=\u00a0<i>p<\/i><sub>1<\/sub>.  Poich\u00e9 <i>p<\/i><sub>1<\/sub><br \/>\n\u00e8 primo e divide il prodotto<br \/>\n(<i>q<\/i><sub>1<\/sub>\u00a0<i>q<\/i><sub>2<\/sub>\u00a0<sup>&#8230;<\/sup>\u00a0<i>q<sub>m<\/sub><\/i>),<br \/>\ndeve dividere uno dei fattori, per esempio <i>q<\/i><sub>1<\/sub> (tanto non<br \/>\nsiamo interessati all&#8217;ordine dei fattori, quindi possiamo cambiarlo in modo<br \/>\nche il fattore diviso da <i>p<\/i> sia proprio <i>q<\/i><sub>1<\/sub>). In<br \/>\nparticolare <i>q<\/i><sub>1<\/sub> \u00e8 primo, quindi pu\u00f2 essere<br \/>\ndiviso solo da se stesso e dall&#8217;unit\u00e0.  Ne segue che<br \/>\n<i>p<\/i><sub>1<\/sub>\u00a0=\u00a0<i>q<\/i><sub>1<\/sub>.  Quindi possiamo<br \/>\ncancellare i due termini nel prodotto e otteniamo: <\/font><\/p>\n<p><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\"> <\/font><\/p>\n<p align=\"center\"><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\"><i>p<\/i><sub>2<\/sub>\u00a0<sup>&#8230;<\/sup>\u00a0<i>p<sub>k<\/sub><\/i>\u00a0=<br \/>\n <i>q<\/i><sub>2<\/sub>\u00a0<sup>&#8230;<\/sup>\u00a0<i>q<sub>m<\/sub><\/i>. <\/font><\/p>\n<p align=\"justify\"><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\">Possiamo iterare il procedimento prendendo<br \/>\n<i>p<\/i><sub>2<\/sub> e cancellando un fattore che possiamo assumere essere<br \/>\n<i>q<\/i><sub>2<\/sub>, e  cos\u00ec via fino a quando non &#8220;finiscono&#8221; i<br \/>\nfattori in uno dei lati dell&#8217;uguaglianza.  Se<br \/>\n<i>k<\/i>\u00a0&lt;\u00a0<i>m<\/i>, finiranno prima i fattori a sinistra e<br \/>\notterremo quindi (a meno di riordinare i termini): <\/font><\/p>\n<p align=\"center\"><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\">1\u00a0=\u00a0<i>q<\/i><sub><i>k<\/i>+1<\/sub>\u00a0<sup>&#8230;<\/sup>\u00a0<i>q<sub>m<\/sub><\/i>,<\/p>\n<p><\/font><\/p>\n<p align=\"justify\"><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\">che \u00e8 impossibile in quanto i <i>q<sub>i<\/sub><\/i><br \/>\nsono strettamente maggiori di 1 (e quindi il loro prodotto non pu\u00f2<br \/>\nessere uguale a 1).<\/p>\n<p>\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Analogamente non si potr\u00e0<br \/>\nnemmeno avere <i>k<\/i>\u00a0&gt;\u00a0<i>m<\/i> (in questo caso finirebbero<br \/>\nprima i fattori di destra e otterrei un&#8217;analoga contraddizione).<\/p>\n<p>\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Quindi <i>k<\/i>\u00a0=\u00a0<i>m<\/i>,<br \/>\ncio\u00e8 compare lo stesso numero di fattori (&#8220;mattoni&#8221;) in entrambe le<br \/>\nscomposizioni, ed in particolare (a meno di riordinarli) si ha <\/font><\/p>\n<p align=\"center\"><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\"><i>p<\/i><sub>1<\/sub>\u00a0=\u00a0<i>q<\/i><sub>1<\/sub><br \/>\n<br \/><sup>&#8230;<\/sup><br \/>\n<br \/><i>p<sub>k<\/sub><\/i>\u00a0=\u00a0<i>q<sub>k<\/sub><\/i> <\/font><\/p>\n<p><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\">e questo conclude la dimostrazione dell&#8217;unicit\u00e0. <\/font><\/p>\n<p><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\"><br \/><\/font><\/p>\n<p><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\"><b>Bibliografia suggerita: <\/b><\/p>\n<p><\/font><\/p>\n<ul><font size=\"2\" face=\"Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif\"><\/p>\n<li>\n<p align=\"justify\">M.\u00a0Artin, <i>Algebra<\/i>, Prentice Hall (1991).<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p align=\"justify\">D.\u00a0S.\u00a0Dummit, R.\u00a0M.\u00a0Foote,<br \/>\n<i>Abstract Algebra<\/i>, Wiley (1999).<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p align=\"justify\">G.\u00a0M.\u00a0Piacentini Cattaneo, <i>Algebra, un<br \/>\napproccio algoritmico<\/i>, Decibel &#8211; Zanichelli (1996).<\/p>\n<\/li>\n<p><\/font><\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>[&#8230;]<\/p>\n","protected":false},"author":276,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[65],"tags":[],"class_list":["post-518","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-algebra"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/518","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/users\/276"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=518"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/518\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=518"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=518"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=518"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}