{"id":474,"date":"2004-10-02T00:00:00","date_gmt":"2004-10-01T22:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"474","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/474\/","title":{"rendered":"Gli intorni di un punto sono definiti come intervalli contenenti un insieme aperto che contiene il punto dato; le dimostrazioni di analisi che conosco non dipendono tuttavia dal fatto che l’insieme sia aperto o chiuso; da dove deriva la necessit\u00e0 di imporre l’insieme aperto?"},"content":{"rendered":"

Riepiloghiamo brevemente le definizioni, nel caso
\ngeneralizzato di spazio n<\/i>-dimensionale, di intorno
\ne palla. <\/font><\/p>\n

<\/p>\n

<\/p>\n

Definizione. <\/b>La palla<\/i> di centro
\nP<\/i>\u00a0=\u00a0(p<\/i>1<\/sub>,\u00a0…,\u00a0pn<\/sub><\/i>)\u00a0\"\"\/\u00a0\"\"\/n<\/i><\/sup>
\ne raggio r<\/i>\u00a0\"\"\/\u00a0\"\"\/+<\/sub>
\n\u00e8 l’insieme dei punti con distanza da
\nP<\/i> minore di r<\/i> (palla aperta<\/i>) o minore o uguale di
\nr<\/i> (palla chiusa<\/i>). <\/font><\/p>\n

<\/p>\n

Definizione. <\/b>Il punto x<\/i> \u00e8 detto
\ninterno<\/i> all’insieme A<\/i> o, equivalentemente, l’insieme A<\/i>
\n\u00e8 detto intorno<\/i> di x<\/i>, se esiste un r<\/i>\u00a0\"\"\/\u00a0\"\"\/+<\/sub> tale che la palla
\naperta di centro x<\/i> e raggio r<\/i> sia interamente contenuta in A.<\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0L’insieme dei punti interni di
\nA<\/i> \u00e8 detto interno<\/i> di A<\/i> (int\u00a0A<\/i>),
\nmentre la frontiera<\/i> di A<\/i> \u00e8 l’insieme dei punti tali che
\nogni palla aperta centrata nei punti di frontiera contiene sia punti
\nappartenenti ad A<\/i> sia punti non appartenenti ad esso. <\/font><\/p>\n

Osservazione. <\/b>se A<\/i> \u00e8 aperto, allora
\nA<\/i> coincide con il suo interno
\n(A<\/i>\u00a0=\u00a0int\u00a0A<\/i>.) <\/font><\/p>\n

Con il sistema formale di definizioni esposte siamo in grado
\ndi comprendere l’importanza degli insiemi aperti: un insieme aperto coincide
\ncon il suo interno e, pertanto, non ha frontiera. L’uso di questa nozione in
\nanalisi matematica \u00e8 fondamentale perch\u00e9 consente di avere un
\nsistema formale in grado di eliminare i punti di frontiera dove, tipicamente,
\npossono “annidarsi” eventuali singolarit\u00e0 come asintoti o “perdite di
\nsignificato” delle espressioni algebriche o delle funzioni analitiche
\ncoinvolte. <\/font><\/p>\n

Esempio. <\/b>\u00c8 possibile dare una definizione di
\nlimite che fa uso soltanto del concetto di intorno: si dice che il limite
\ndella funzione f<\/i>(x<\/i>) per x<\/i>\u00a0–>\u00a0c<\/i>
\n\u00e8 uguale a l<\/i> se per ogni intorno B<\/i> del punto l<\/i>
\nesiste un intorno A<\/i> del punto c<\/i> tale che
\nf<\/i>(x<\/i>)\u00a0\"\"\/\u00a0B<\/i> per ogni
\nx<\/i>\u00a0\"\"\/\u00a0A<\/i>. Date le propriet\u00e0
\ndegli intorni esposte in precedenza, infatti, questa definizione di limite
\n\u00e8 equivalente a quella consueta: lasciamo al lettore il compito di
\nverificare questa affermazione, almeno nel caso in cui
\nf<\/i>\u00a0:\u00a0\"\"\/\u00a0–>\u00a0\"\"\/.<\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Supponiamo ora di non richiedere,
\nnella definizione di intorno A<\/i> di un punto x<\/i>, che esista una
\npalla di centro x<\/i> interamente contenuta in A<\/i>: potremmo per
\nesempio pensare di definire “intorno” di un punto x<\/i> qualsiasi insieme
\nche contenga il punto x<\/i>. Ebbene, in questo caso la definizione di
\nlimite non potrebbe essere pi\u00f9 data come sopra: infatti, anche
\nl’insieme A<\/i>\u00a0=\u00a0{x<\/i>} sarebbe un intorno del punto
\nx<\/i> e, se continuassimo a voler definire il limite come sopra, avremmo
\nlim\u00a0x<\/i>\u00a0–>\u00a0c<\/i><\/sub>\u00a0f<\/i>(x<\/i>)\u00a0=\u00a0f<\/i>(c<\/i>)
\nper ogni c<\/i> appartenente al dominio di f<\/i>, cosa che sappiamo non
\nessere vera in analisi. (Per dimostrare quest’ultima affermazione basta
\npensare che gli intorni B<\/i>\u00a0=\u00a0{l<\/i>} di l<\/i> e
\nA<\/i>\u00a0=\u00a0{x<\/i>} di x<\/i> soddisfano la condizione
\nrichiesta nella definizione di limite. <\/font><\/p>\n

La necessit\u00e0 di imporre che un intorno A<\/i> di
\nx<\/i> contenga tutta una palla aperta centrata attorno a x<\/i>,
\ninsomma, serve a garantire il fatto che x<\/i> abbia “abbastanza A<\/i>
\nattorno” o, in termini pi\u00f9 rigorosi, che x<\/i> non sia un punto di
\nfrontiera dell’insieme A<\/i>.<\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Il lettore ha comunque ragione quando
\nosserva che non \u00e8 assolutamente necessario supporre che un generico
\nintorno sia un insieme aperto. La definizione di intorno di x<\/i> come
\n“insieme aperto contenente x<\/i>” \u00e8 in effetti inutilmente
\nrestrittiva; alcuni autori preferiscono per\u00f2 usarla in quanto la
\ntrovano pi\u00f9 immediata e intuitiva della definizione vista sopra,
\novvero “insieme contenente una palla aperta contenente x<\/i>“.<\/p>\n

<\/font><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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