{"id":450,"date":"2003-05-28T00:00:00","date_gmt":"2003-05-27T22:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"450","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/450\/","title":{"rendered":"Ho un gruppo di 3.000.000 di elementi interi con valori casuali compresi da 0 a 100 con frequenza uniforme. Ho necessita di aumentare o diminuire la loro media con qualsiasi procedimento."},"content":{"rendered":"

Dal momento che la domanda del lettore non era formulata in
\nmodo del tutto chiaro, abbiamo deciso di riportare di seguito le risposte di
\nCarlo Consoli e di Gino Favero, che hanno seguito due interpretazioni
\ndiverse.<\/p>\n

<\/font><\/p>\n

\n

La domanda definisce una successione {A<\/i>1<\/sub>,
\n…, An<\/sub><\/i>} di variabili aleatorie (valori casuali)
\nappartenenti con distribuzione uniforme all’intervallo [0,\u00a0m<\/i>]
\nintervallo dei naturali. Nel caso specifico,
\nn<\/i>\u00a0=\u00a03\u00a0*\u00a0106<\/sup> e m<\/i>\u00a0=\u00a0100.
\n<\/font><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0La distribuzione dei
\nvalori delle variabili aleatorie di questi elementi \u00e8 praticamente
\ncasuale, ovvero ciascun valore j<\/i>\u00a0=\u00a00,\u00a0…,\u00a0100
\noccorre tra le variabili aleatorie in modo quasi uniforme. Indicando con
\nfj<\/sub><\/i> la frequenza con cui occorre il valore j<\/i> nella
\nsuccessione di variabili aleatorie, si ottiene: <\/font><\/p>\n


\n \"\"\/
\n<\/font><\/center><\/p>\n

con |d<\/i>|\u00a0<<\u00a0n<\/i> (molto minore di
\nn<\/i> in valore assoluto) che varia nell’intervallo dei naturali
\n[-103<\/sup>, 103<\/sup>]. Si osservi che il numero di valori
\nammessi \u00e8 m<\/i>\u00a0+\u00a01, ovvero 101 nel caso specifico. Le
\nvariabili aleatorie variano infatti tra 0 (compreso) e 100. La media
\n\u00e8 50, e qui ne diamo dimostrazione formale. La media, che indichiamo
\ncon a<\/u><\/i>, si ottiene sommando i valori possibili delle variabili
\naleatorie per la frequenza della loro occorrenza, e dividendo il tutto per il
\nnumero di occorrenze totali, cio\u00e8, <\/font><\/p>\n


\n \"\"\/.
\n<\/font><\/center><\/p>\n

Infatti, il termine d<\/i>\u00a0\/\u00a0n<\/i>, essendo
\n|d<\/i>|\u00a0<<\u00a0n<\/i>, \u00e8 trascurabile e pu\u00f2
\nessere ignorato (per questo l’ultimo termine \u00e8 riportato con il segno
\ndi “circa uguale”). Ricordando che la somma dei primi m<\/i> numeri
\nnaturali \u00e8 uguale a m<\/i>(m<\/i>\u00a0+\u00a01)\u00a0\/\u00a02,
\nfattorizzando la sommatoria per il termine costante
\n1\u00a0\/\u00a0(m<\/i>\u00a0+\u00a01) si ottiene: <\/font><\/p>\n


\n \"\"\/,
\n<\/font><\/center><\/p>\n

nel caso specifico, m<\/i>\u00a0\/\u00a02\u00a0=\u00a050.
\nCon un breve calcolo, si dimostra che l’errore e<\/i> di approssimazione
\nmassimo in valore assoluto che si commette \u00e8 dato da: <\/font><\/p>\n


\n \"\"\/,
\n<\/font><\/center><\/p>\n

errore pari a circa 1.68: la media, quindi varia tra 48.32 e
\n51.68. <\/font><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Nello specifico, non
\n\u00e8 possibile variare la somma totale delle variabili aleatorie, infatti
\naumentando una delle variabili, si deve diminuire della stessa
\nquantit\u00e0 una delle altre. Questo vuol dire che la sommatoria delle
\nvariabili aleatorie deve essere costante<\/i> (diciamo K<\/i>). \u00c8
\nproprio questo il vincolo che le rende irrisolvibile il problema: infatti la
\nsommatoria delle variabili concorre al calcolo della media, secondo la
\ndefinizione classica e pi\u00f9 immediata di media aritmetica: <\/font><\/p>\n


\n \"\"\/.
\n<\/font><\/center><\/p>\n

In effetti il risultato \u00e8 controintuitivo
\nperch\u00e9, a rigor di logica, potendo aumentare le variabili aleatorie
\nprossime al 100 e diminuire quelle a valori minori, la media dovrebbe
\naumentare. Cos\u00ec non \u00e8. Infatti, aumentando una variabile a
\nvalori “alti” e diminuendo un’altra a valori “bassi”, il “baricentro”
\ncomplessivo (cio\u00e8 la media) non cambia. \u00c8 come voler cambiare
\nil fulcro della leva spostando contemporaneamente i due pesi ulteriormente
\nagli estremi. <\/font><\/p>\n

CC<\/font><\/p>\n

\n

Dalla domanda, sembra di capire che il lettore si sta
\nconfrontando con un campione casuale (A<\/i>1<\/sub>, …,
\nAn<\/sub><\/i>) di n<\/i>\u00a0=\u00a03000000 di variabili casuale
\ndiscrete, indipendenti e identicamente distribuite a valori nell’intervallo
\nintero [0,100], valori che vengono assunti con uguale probabilit\u00e0
\n1\/101. Questa interpretazione sembra concordare con i dati del problema:
\ntale ipotesi statistica si accorda infatti nolto bene con le frequenze
\ncampionarie riportate dal lettore. <\/font><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Volendo aumentare la
\nmedia, sembra di capire che il lettore provi a modificare i valori assunti da
\nalcune di queste variabili aleatorie secondo una strategia “a priori”,
\ncio\u00e8, basata sulla posizione<\/i> delle variabili casuali nella
\nsuccessione e non<\/i> sul loro valore. Sembra anche di capire che una
\nformulazione matematica concisa per quello che il lettore riporta come
\n“sommare un valore a un elemento” Ai<\/sub><\/i> secondo il vincolo che
\n“se a 100 aggiungo 1 diventa 0, se a 100 aggiungo 2 diventa 1” sia la
\nseguente: dopo aver aggiunto a<\/i> al valore ai<\/sub><\/i> assunto
\ndalla variabile aleatoria Ai<\/sub><\/i> se ne prende il resto della
\ndivisione per 101, che in matematica si indica con il simbolo “mod”. Anche
\nquesto concorda con quanto riferito dal lettore, perch\u00e9 per esempio si
\nha
\n(100\u00a0+\u00a01)\u00a0mod\u00a0101\u00a0=\u00a0101\u00a0mod\u00a0101\u00a0=\u00a00
\ne
\n(100\u00a0+\u00a02)\u00a0mod\u00a0101\u00a0=\u00a0102\u00a0mod\u00a0101\u00a0=\u00a01.
\nIl lettore si chiede quindi perch\u00e9 questi suoi tentativi non abbiano
\navuto alcun effetto dal punto di vista della media risultante. <\/font><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Ricordiamo che il
\nvalore atteso<\/i>, o speranza matematica<\/i>, EX<\/i> di una
\nvariabile casuale X<\/i> che assume soltanto un numero finito di valori
\nx<\/i>1<\/sub>, …, xk<\/sub><\/i> \u00e8 definita come la
\nsomma dei valori assunti moltiplicati ciascuno per la probabilit\u00e0 di
\nvenire assunto: in simboli,
\nEX<\/i>\u00a0=\u00a0p<\/i>1<\/sub>x<\/i>1<\/sub>\u00a0+\u00a0…\u00a0+\u00a0pk<\/sub><\/i>xk<\/sub><\/i>,
\ndove
\npj<\/sub><\/i>\u00a0:=\u00a0P<\/i>{X<\/i>\u00a0=\u00a0xj<\/sub><\/i>}.
\nIn ipotesi soddisfatte dalle variabili aleatorie in questione \u00e8
\nverificato un risultato fondamentale del calcolo delle probabilit\u00e0, la
\nlegge dei grandi numeri<\/i>, la quale afferma che la media
\n(A<\/i>1<\/sub>\u00a0+\u00a0…\u00a0+\u00a0An<\/sub><\/i>)\u00a0\/\u00a0n<\/i>
\ndi n<\/i> variabili aleatorie indipendenti e identicamente distribuite
\n(A<\/i>1<\/sub>, …, An<\/sub><\/i>) tende, per n<\/i> che
\ntende all’infinito, al valore atteso EA<\/i>1<\/sub> della variabile
\naleatoria A<\/i>1<\/sub> (che viene scelta per comodit\u00e0 di
\nnotazione: in realt\u00e0, dato che tutte le Ai<\/sub><\/i> hanno le
\nstesse distribuzioni, tutti i loro valori attesi sono uguali tra loro e al
\nvalore atteso di A<\/i>1<\/sub>). Una variante di questa legge dice
\ninoltre che, per n<\/i> tendente all’infinito, si ha l’ulteriore
\nconvergenza delle frequenze campionarie fj<\/sub><\/i> (definite come
\nil rapporto tra il numero di volte in cui \u00e8 stato assunto il valore
\nj<\/i>\u00a0=\u00a01,\u00a0…,\u00a0k<\/i> e il numero totale n<\/i>
\ndi valori) verso la probabilit\u00e0 pj<\/sub><\/i>. Per stimare la
\nvelocit\u00e0 di questa convergenza si pu\u00f2 usare un altro risultato
\nmolto forte del calcolo delle probabilit\u00e0, il teorema del limite
\ncentrale<\/i>, sul quale forse non vale la pena di soffermarsi troppo: quello
\nche importa \u00e8 che, nel caso in questione, tale teorema ci assicura che
\ncon tre milioni di campioni si ha il 99.99% di probabilit\u00e0 di ottenere
\nuna media compresa tra 49.98 e 50.02 (cio\u00e8, con uno scarto dalla media
\n“teorica” minore dello 0.04%), e la stessa probabilit\u00e0 del 99.99% di
\nottenere frequenze campionarie che si scostano da quella “teorica”
\n(1\u00a0\/\u00a0101) di meno del 2.5%. <\/font><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Questa lunga premessa
\nserve a giustificare il fatto che, invece di ragionare sulla media
\ncampionaria di tutti i tre milioni di dati, si pu\u00f2 considerare il
\nvalore atteso di uno di essi e osservare l’effetto che le trasformazioni
\nsuggerite dal lettore hanno su una singola variabile aleatoria. \u00c8
\nallora chiaro perch\u00e9 le trasformazioni operate dal lettore non hanno
\nalcun effetto sulla media: se la variabile<\/i> Ai<\/sub><\/i> ha
\ndistribuzione uniforme nell’insieme<\/i> {0,\u00a01,\u00a0…,\u00a0100} e
\na<\/i> \u00e8 un qualsiasi numero intero, allora anche la variabile<\/i>
\n(Ai<\/sub><\/i>\u00a0+\u00a0a<\/i>)\u00a0mod\u00a0101 ha
\ndistribuzione uniforme nello stesso insieme. <\/i> Per dimostrare questo
\nrisultato, basta osservare che la funzione
\nf<\/i>\u00a0:\u00a0x<\/i>\u00a0–>\u00a0(x<\/i>\u00a0+\u00a0a)\u00a0mod\u00a0101
\n\u00e8 una funzione biiettiva dell’insieme {0,\u00a01,\u00a0…,\u00a0100}
\nin s\u00e9 e quindi opera semplicemente un “rimescolamento” dei valori,
\nsenza cambiare la probabilit\u00e0 con cui ciascuno di essi viene assunto.
\nLe trasformazioni operate dal lettore trasformano allora il campione casuale
\nin un altro campione casuale avente esattamente la stessa distribuzione e,
\nquindi, la stessa media e gli stessi comportamenti aleatori. <\/font><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Le cose cambiano
\nleggermente se possiamo cambiare l’insieme di arrivo delle variabili
\naleatorie Ai<\/sub><\/i> prendendo a<\/i> reale e non intero. Se,
\nper esempio, a<\/i>\u00a0=\u00a00.5, allora la variabile aleatoria
\n(Ai<\/sub><\/i>+\u00a01)\u00a0mod\u00a0101 assume con
\nprobabilit\u00e0 1\u00a0\/\u00a0101 tutti i valori nell’insieme
\n{1.5,\u00a02.5,\u00a0…,\u00a099.5} e, inoltre, il valore 0.5 con
\nprobabilit\u00e0 2\u00a0\/\u00a0101 (tale valore, infatti, proviene da due
\ndistinti valori di Ai<\/sub><\/i>: lo 0 e il 100, ciascuno dei quali
\nviene assunto con probabilit\u00e0 1\u00a0\/\u00a0101). Il suo valore
\natteso \u00e8 pertanto <\/font><\/p>\n


\n (2\u00a0\/\u00a0101)*0.5\u00a0+\u00a0(1\/101)(1.5\u00a0+\u00a02.5\u00a0+\u00a0…\u00a0+\u00a099.5)\u00a0=\u00a050005\u00a0\/\u00a01010\u00a0~\u00a049.51:
\n<\/font><\/center><\/p>\n

questa trasformazione ottiene cio\u00e8 il risultato di
\ndiminuire<\/i> il valore atteso. Questo ci suggerisce allora di operare
\nuna trasformazione in un certo senso “opposta”: togliendo<\/i> infatti lo
\nstesso valore 0.5 alla variabile aleatoria Ai<\/sub><\/i> si ottiene
\nuna nuova variabile aleatoria che assume tutti i valori nell’insieme
\n{0.5,\u00a02.5,\u00a0…,\u00a098.5} con probabilit\u00e0 1\u00a0\/\u00a0101
\ne il valore 99.5 con probabilit\u00e0 2\u00a0\/\u00a0101 e il cui valore
\natteso \u00e8 quindi (con calcoli analoghi ai precedenti)
\n50995\u00a0\/\u00a01010\u00a0~\u00a050.49. Si pu\u00f2 migliorare
\nleggermente questo risultato togliendo un numero pi\u00f9 vicino a zero:
\nper esempio, con a<\/i>\u00a0=\u00a00.01 si ottiene un valore atteso di
\n514899\u00a0\/\u00a010100\u00a0~\u00a050.98. <\/font><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Va osservato a questo
\npunto che una trasformazione di questo tipo non pu\u00f2 dare risultati
\nmigliori di questo. Se si vuole ottenere una variazione pi\u00f9
\nconsistente della media, \u00e8 allora necessario operare altri tipi di
\ntrasformazioni: per esempio, si pu\u00f2 dimostrare che la trasformazione
\nf<\/i>\u00a0:\u00a0x<\/i>\u00a0–>\u00a0x<\/i>4<\/sup>\u00a0mod\u00a0101
\nporta la media a 56 e che la trasformazione
\nf<\/i>\u00a0:\u00a0x<\/i>\u00a0–>\u00a050\u00a0+\u00a0int(x<\/i>\u00a0\/\u00a02\u00a0+\u00a01)
\nporta la media a 75. Si potrebbero senz’altro cercare altre trasformazioni,
\nma bisognerebbe conoscere con pi\u00f9 precisione i vincoli ai quali il
\nlettore deve obbedire. <\/font><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Notiamo infine che
\nmodificare soltanto un sottoinsieme delle variabili casuali che compongono il
\ncampione ha semplicemente l’effetto di “diluire” l’eventuale modifica del
\nvalore atteso: in sostanza, se la trasformazione che scegliamo porta il
\nvalore atteso da 50 a 60 (cio\u00e8 lo modifica di 10), la media
\ncampionaria sar\u00e0 vicina a 60 se modifichiamo tutto il campione, vicina
\na 55 (50\u00a0+\u00a010\u00a0\/\u00a02) se modifichiamo met\u00e0 delle
\nvariabili aleatorie che lo compongono (esempio, applicando la trasformazione
\nuna variabile s\u00ec e una no), vicina a 53.33 se modifichiamo un terzo
\ndelle variabili aleatorie che lo compongono, e cos\u00ec via. <\/font><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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