{"id":414,"date":"2003-08-13T00:00:00","date_gmt":"2003-08-12T22:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"414","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/414\/","title":{"rendered":"È possibile che ci sia qualche tipo di periodicit\u00e0 nella forma binaria di pi greco?"},"content":{"rendered":"

Il “pi greco” (talvolta chiamato “pi”, per semplicit\u00e0
\ndi riferimento) \u00e8 sicuramente uno dei numeri pi\u00f9 studiati della
\nstoria della matematica. Dagli innumerevoli tentativi di quadratura del
\ncerchio (cio\u00e8, della costruzione di un segmento lungo radice di \"\"\/ volte un segmento dato) alle ore e ore di
\ntempo-macchina impiegate per calcolarne centinaia di milioni di cifre
\ndecimali dopo la virgola (si veda qui<\/a> per
\nconvincersi che non la sto affatto sparando grossa), sono stati effettuati
\ncentinaia e centinaia di studi di diversi tipi e con diversi scopi. Di
\nconseguenza, se ne conoscono tantissime propriet\u00e0. <\/font><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Una propriet\u00e0
\nfondamentale di \"\"\/ \u00e8 il fatto che
\n\u00e8 un numero irrazionale<\/i>: non esiste nessuna frazione il cui
\nrisultato dia \"\"\/. Questo ha come immediata
\nconseguenza il fatto che le cifre dello sviluppo decimale di \"\"\/ non presentano nessun periodo, perch\u00e9
\nla formula imparata nella scuola media per convertire un numero decimale
\nfinito o periodico in frazione dimostra che ogni numero periodico \u00e8
\nrazionale. Il dubbio che questa propriet\u00e0 possa non essere valida in
\nuna base di numerazione diversa da 10 pu\u00f2 essere risolto dimostrando
\nche una formula perfettamente analoga vale in qualsiasi sistema di
\nnumerazione. Insomma, se anche lo sviluppo binario di \"\"\/ sembra avere qualche schema che si ripete, tale ripetizione non
\npu\u00f2 certamente essere regolare, perch\u00e8 la razionalit\u00e0
\n(cio\u00e8, il fatto di essere pari al risultato di una divisione) non
\ndipende dal sistema di numerazione. <\/font><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Dalla domanda della
\nlettrice scaturiscono per\u00f2 altre riflessioni. Anche se non \u00e8
\npossibile trovare una regolarit\u00e0 periodica nello sviluppo delle cifre
\ndi \"\"\/, potrebbe darsi, per esempio, che in
\ntale sviluppo esistano certe cifre (o combinazioni di cifre) che compaiano
\npi\u00f9 frequentemente di altre? La risposta a questa domanda \u00e8
\ntutt’altro che banale, per cui vale la pena di fermarcisi su un po’. <\/font><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Nel 1909, il matematico
\n\u00c9mile Borel coni\u00f2 la definizione di numero normale: un numero
\nsi dice normale in base<\/i> 10 se due qualsiasi successioni di cifre della
\nstessa lunghezza compaiono nel suo sviluppo decimale con uguale frequenza. In
\naltre parole se un numero \u00e8 normale, nel suo sviluppo decimale ogni
\nnumero compare con frequenza 1\u00a0\/\u00a010, ogni coppia di numeri compare
\ncon frequenza 1\u00a0\/\u00a0100, cos\u00ec come ogni terna di numeri con
\nfrequenza 1\u00a0\/\u00a01000 e cos\u00ec via. \u00c8 immediato
\nconvincersi che un numero normale \u00e8 per forza irrazionale (in un
\nnumero periodico, infatti, alcune successioni di cifre non compaiono proprio
\nper nulla, cio\u00e8 hanno frequenza 0!), ma che non tutti i numeri
\nirrazionali sono normali (\u00e8 possibile dimostrare che il numero
\n0,202002000200002000002… \u00e8 irrazionale, ma chiaramente la
\nsuccessione di cifre “3456” non compare mai nel suo sviluppo decimale). Un
\nnumero, inoltre, si dice assolutamente normale<\/i> se \u00e8 normale in
\ntutte le basi intere. <\/font><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0La dimostrazione della
\n“normalit\u00e0” di un numero \u00e8 un problema ancora aperto,
\ncio\u00e8 non si \u00e8 riusciti a trovare un modo per dimostrare se un
\ndato numero \u00e8 normale oppure no: i numeri che sono notoriamente
\nnormali appartengono a classi molto particolari oppure sono numeri costruiti
\nappositamente per possedere questa propriet\u00e0. Non si sa quindi se
\n\"\"\/ sia normale; in compenso, un’analisi
\ndelle frequenze con cui si ripetono tutte le possibili combinazioni
\nall’interno delle cifre note dello sviluppo di \"\"\/ si accorda molto bene all’ipotesi statistica che lo sia (per
\nun’analisi delle frequenze con cui compaiono le singole cifre, si veda per
\nesempio qui<\/a>). In
\nrealt\u00e0 si suppone che \"\"\/ (insieme con
\naltre costanti comuni, come per esempio la radice di due o il numero di
\nNepero) sia addirittura assolutamente<\/i> normale, anche se non si ha
\nnulla, oltre all’evidenza statistica, a supporto di questa ipotesi (maggiori
\ninformazioni su questo problema in particolare e sui numeri normali in
\ngenerale si possono trovare in rete, cercando “normal numbers” in qualsiasi
\nmotore di ricerca). Se questo fosse vero, comunque, si potrebbe dare
\nl’ultimo colpo alla speranza della lettrice: non solo non pu\u00f2 esserci
\nalcuna periodicit\u00e0 nello sviluppo binario di \"\"\/, ma addirittura non esistono nemmeno combinazioni di zero e uno
\nche compaiono pi\u00f9 spesso di altre nel suo sviluppo. <\/font><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Va detto comunque che la
\ndomanda \u00e8 tutt’altro che sciocca. In effetti, quello di cercare una
\nregolarit\u00e0 in qualsiasi fenomeno si presenti \u00e8 una tendenza
\ndecisamente umana (che a volte pu\u00f2 addirittura diventare
\nun’ossessione, come sa chi ha visto il film “A beautiful mind”!). Oltretutto,
\ni numeri binari composti da un dato numero di cifre sono decisamente pochi
\nrispetto agli analoghi decimali (si pensi, per esempio, che esistono 16
\nnumeri binari e 10000 decimali con quattro cifre), per cui \u00e8
\nestremamente facile illudersi di riuscire a trovare una qualche
\nregolarit\u00e0 nello sviluppo binario di un numero. <\/font><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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