La teoria dei gruppi ha giocato un ruolo centrale nello sviluppo della matematica nella prima metà del Novecento. La più importante applicazione della teoria stessa, richiamata anche dall'autore, è relativa alla teoria delle risolubilità per radicali di un'equazione algebrica: il lavoro di Lagrange, Ruffini, Abel e Galois basato sullo studio dei gruppi di sostituzioni delle radici di un'equazione algebrica porta alla dimostrazione del fatto che la generica equazione algebrica di quinto grado non è risolubile per radicali. Ma non è solo l'algebra che trae beneficio dalla teoria dei gruppi: Poncelet e Möbius fondano la geometria proiettiva sullo studio del gruppo delle proiettività, e successivamente anche altri tipi di geometria non euclidea vengono esplorati attraverso lo studio di opportuni gruppi di trasformazioni e dei relativi invarianti, impostazione oggi nota come Programma di Erlangen e messa a punto da Klein nel 1872. Anche in analisi la teoria dei gruppi non tarda ad arrivare: attorno all'anno 1890 Lie pubblica una serie di note relative allo studio dei gruppi continui di trasformazioni e relative applicazioni alle equazioni differenziali. Lie prende spunto dalla problematica relativa alle equazioni algebriche e si pone la seguente domanda: la teoria dei gruppi discreti viene in aiuto per capire quando un'equazione algebrica può essere risolta per radicali; la teoria dei gruppi continui può essere utile per capire quando un'equazione differenziale ordinaria può essere risolta per quadratura? Partiamo da un caso facile: l'equazione differenziale y'=f(x). Tale equazione è risolubile per quadratura immediata: l'insieme delle soluzioni è dato da<\/p>\n
y(x)=c+F(x)<\/p>\n
dove F'=f e c è una costante reale arbitraria. Le soluzioni dell'equazione y'=f(x) si ottengono quindi traslando di un parametro c arbitrario reale una qualunque primitiva di f. Si è quindi venuto a creare in modo naturale un gruppo continuo ad un parametro<\/em>, il gruppo delle traslazioni x → x, y → y+c, che permuta tra loro le soluzioni dell'equazione y'=f(x) proprio come l'azione dei gruppi di sostituzioni di radici di un'equazione algebrica. Il problema che ora si è posto Lie è il seguente: assegnata un'equazione differenziale ordinaria, se è possibile trovare un gruppo continuo ad un parametro che permuta le soluzioni dell'equazione allora esiste una trasformazione di coordinate che porta l'equazione a essere integrata per quadratura? La risposta è positiva e rappresenta il cuore del metodo messo a punto da Lie. Non entriamo nel dettaglio del metodo stesso che richiederebbe l'introduzione di svariati concetti e definizioni; ci limitiamo solo a vedere alcuni punti dell'applicazione di questo metodo su un'equazione non lineare. Consideriamo l'equazione differenziale <\/p>\n xy'+y-xy2<\/sup>=0.<\/p>\n Introduciamo la variabile p che prende il ruolo della derivata; si viene quindi a creare una superficie di equazione <\/p>\n xp+y-xy<\/span>2<\/sup>=0.<\/span><\/p>\n Cerchiamo ora un gruppo continuo da un parametro che lasci invariata l'equazione di tale superficie: si vede facilmente che basta porre <\/span> x → λx, y → λ-1<\/sup>y, p → λ-2<\/sup>p. Dunque il metodo di Lie parte e si arriva, seguendo una procedura standard, alla seguente trasformazione di coordinate:<\/p>\n R=xy, S=log y, T=x2<\/sup>p.<\/p>\n Dall'equazione xp+y-xy<\/span>2<\/sup>=0 si ricava facilmente T=R2<\/sup>-R mentre sviluppando dS\/dR si trova <\/span><\/p>\n dS\/dR=T\/[R(T+R)].<\/span><\/p>\n Dunque è <\/span><\/p>\n dS\/dR=T\/[R(T+R)]=1\/R-1\/R2<\/sup><\/span><\/p>\n che per quadratura fornisce S(R)=1\/R+log R+c. Tornando alle vecchie coordinate si ha dunque <\/p>\n y=-1\/[x(c+log x)].<\/p>\n ——–<\/p>\n