{"id":3638,"date":"2015-11-03T00:00:00","date_gmt":"2015-11-02T23:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"3638","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/3638\/","title":{"rendered":"Come mai in matematica i professori, a proposito delle \r\ndefinizioni, dicono: \u00e8 una definizione questa, quindi “non \r\nbisogna capirla”, la si prende per quello che \u00e8.\r\nSotto alle definizioni ci sar\u00e0 pure una certa logica o mi \r\nsbaglio? Cosa c’\u00e8 alla base delle definizioni in \r\nmatematica?"},"content":{"rendered":"

Dal punto di vista strettamente logico è vero: una definizione non va capita <\/em>nel senso che semplicemente non esiste la definizione nella matematica vista come elenco di affermazioni costruite a partire dalla teoria assiomatica inizialmente posta a fondamento. Se ci limitiamo quindi a considerare la matematica come successione di teoremi la definizione appare come un qualcosa di superfluo, semplicemente una semplificazione di notazioni e\/o l'introduzione di una opportuna simbologia: l'unica accortezza a cui prestare attenzione è che effettivamente si stia considerano una classe non vuota di oggetti, e che quindi vi sia almeno un modello<\/em> per la definizione data. Questo se ci limitiamo a guardare la matematica come sequenza di implicazioni, cosa ovviamente altamente riduttiva. Il ruolo delle definizioni è infatti centrale, non tanto per il fatto che esse vadano comprese, quanto per il fatto che va compreso cosa è utile elevare a definizione, ciò che merita di essere messo a definizione: tra tutte le relazioni tra insiemi, cioé tra tutti gli insiemi di coppie ordinate, alcune meritano di essere messe a parte e studiate, le funzioni, da cui lo studio di esse cioé l'analisi matematica, oppure ancora tra tutte le operazioni binarie su insiemi solo alcune meritano di essere studiate a fondo, per esempio quelle che danno la struttura di gruppo, da cui la teoria dei gruppi, e si potrebbe continuare. Ma allora come capire se vale la pena mettere a definizione qualcosa? La cosa davvero importante infatti non è la definizione in sé, bensì la collezione delle proprietà verificate dagli oggetti matematici considerati dalla definizione: ritornando ai due esempi precedenti, le funzioni hanno tantissime particolari proprietà molto utili rispetto all'oceano delle relazioni, così come per i gruppi si possono fare dei teoremi significativi. L'utilità di una definizione è quindi una cosa che si scopre solo a posteriori, la matematica già preconfezionata che ci viene presentata a lezione o che leggiamo sui libri ci offre un esempio di come le definizioni siano state scelte in modo attento ed oculato, in vista della loro importanza: va da sé che in fase di ricerca matematica invece tutto è più difficile e riuscire a isolare la definizione "giusta" può essere un compito difficile e talvolta la chiave per sviluppi importanti della teoria.
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