{"id":3611,"date":"2015-04-29T00:00:00","date_gmt":"2015-04-28T22:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"3611","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/3611\/","title":{"rendered":"Una corda compie 4 giri attorno un cilindro di lunghezza 12 e \r\ncirconferenza 4. La lunghezza della corda dovrebbe essere 20 se \r\npensiamo di aprire il cilindro e calcolare la lunghezza delle 4 rette \r\ntramite Pitagora, se io risolvo il problema pensando che un giro di \r\ncorda sia la circonferenza di un’ellisse la lunghezza della corda non \r\ncoincide. Perch\u00e8?"},"content":{"rendered":"

La situazione fisica sottintende evidentemente che la corda venga tesa <\/em>avvolgendola attorno al cilndro in modo da farle fare 4 giri. Questo implica che la corda si dispone lungo una geodetica del cilindro che connette due punti posti su una generatrice del cilindro; tale geodetica deve fare 4 giri attorno al cilindro (grado <\/em>è la parola magica) per cui, per motivi di geometria differenziale, deve essere un'elica cilindrica. Sviluppando il cilindro dato su un piano e rappresentando la situazione descritta otteniamo, dal momento che lo sviluppo è una isometria, cioé non altera le distanza, la seguente figura: <\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Come quindi l'autore della domanda afferma, la lunghezza totale dell'elica data risulta essere, applicando il teorema di Pitagora, pari a 20.<\/p>\n

Non è ora però chiaro come mai l'autore affermi che sia possibile calcolare la lunghezza dell'elica cilindrica data come lunghezza di un'ellisse: l'elica cilindrica data infatti non è un'ellisse. È possibile che il fatto di vedere sviluppata l'elica sul piano come unione di segmenti di retta abbia indotto il lettore a credere che l'elica si ottenga come sezione piana del cilindro, precisamente tagliando il cilindro con un piano non ortogonale all'asse del cilindro stesso; in questo modo è vero che si ottiene un'ellisse ma non si ottiene senz'altro un'elica, dal momento che l'elica non è una curva piana. La verifica che uno potrebbe eventualmente fare è il calcolo diretto della lunghezza dell'elica in quanto curva regolare tracciata sul cilindro usando la definizione. Si tratta di un semplice esercizio di geometria differenziale della curva. Riferiamo il cilindro ad uno spazio Oxyz di modo che sia dato dall'insieme<\/p>\n

{(x,y,z) : x2<\/sup>+y2<\/sup>=4\/π2<\/sup>, 0≤z≤12}.<\/p>\n

Costruiamo ora il segmento di elica avvolta attorno al cilindro che, per esempio, parte dal punto (2\/π,0,0), gira in senso antiorario e, dopo un solo giro, si porta nel punto (<\/span>2\/π,0,3). Le equazioni parametriche dell'elica richiesta sono date, come è ben noto, da <\/span><\/p>\n

r(t)=(a cost,a sint,bt), t∈[0,2π].<\/span><\/p>\n

Prima di tutto dovendo l'elica stare sul cilindro deve essere a2<\/sup>=4\/π<\/span>2<\/sup>, da cui a=2\/π. Imponiamo ora il passaggio per il punto (<\/span>2\/π,0,3): deve essere (<\/span>2\/π,0,<\/span>2bπ)=(<\/span>2\/π,0,3) da cui b=3<\/span>\/2π. Ne segue che l'elica richiesta ha equazioni parametriche, dovendo fare 4 giri, <\/span><\/p>\n

r(t)=(<\/span>2\/π cost,<\/span>2\/π sint,3t<\/span>\/2π), t∈[0,8π].<\/span><\/p>\n

Troviamo quindi la lunghezza di questo arco di curva. Si ha <\/span><\/p>\n

r'(t)=(-2\/<\/span>π sint,<\/span>2\/<\/span>π cost,3<\/span>\/2<\/span>π) <\/span><\/p>\n

per cui la lunghezza L è data da <\/span><\/p>\n

L= ∫[0,8π]<\/sub>|r'(t)|dt= ∫<\/span>[0,8π]<\/sub>(4\/π<\/span>2<\/sup>+9\/4π<\/span>2<\/sup>)1\/2<\/sup>dt=20.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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