{"id":3586,"date":"2015-01-29T00:00:00","date_gmt":"2015-01-28T23:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"3586","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/3586\/","title":{"rendered":"Salve, cosa significa che in R^4 ci sono infinite strutture \r\ndifferenziali?"},"content":{"rendered":"

Ecco il link alla mia video-introduzione: http:\/\/youtu.be\/MPrUdXPf4Eg<\/a>.<\/p>\n

Per poter rispondere al meglio a questa domanda trovo utile ricordare alcune definizioni:<\/p>\n

Definizione 1.<\/strong> Sia (M,T) uno spazio topologico di Hausdorff diciamo che una coppia \"\" è una carta locale su M di dimensione n se U è un aperto in M e \"\" è un omeomorfismo tra U e \"\".  Inoltre se <\/span>\"\" è un'altra carta locale su M, diciamo che \"\" e \"\" sono compatibili se \"\" oppure, nel caso \"\", se le applicazioni<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

sono funzioni di classe \"\". <\/p>\n

Definizione 2.<\/strong> Sia (M,T) uno spazio topologico di Hausdorff e sia <\/span><\/p>\n

\"\"<\/p>\n

una famiglia di carte locali di dimensione n su M. Diciamo che A è un atlante di dimensione n su M se la famiglia <\/span>\"\" è <\/span>un ricoprimento di M e se le carte \"\" sono a due a due compatibili.<\/span> <\/span><\/p>\n

Definizione 3.<\/strong> Diciamo che due atlanti A e A' sono equivalenti se \"\" è un atlante su M e diciamo che A è massimale se non esiste un atlante A' su M equivalente ad A tale che \"\". <\/span><\/p>\n

Definizione 4.<\/strong> Sia (M,T) uno spazio topologico di Hausdorff. <\/span>Diciamo infine che M è una varietà differenziabile se su M è dato un atlante massimale di dimensione n, tale atlante è detto struttura differenziabile.<\/span><\/p>\n

Definizione 5.<\/strong> Siano M e N due varietà differenziabili, sia A un aperto in M, \"\"  una funzione e sia \"\". Diciamo che \"\" è differenziabile in p se per ogni carta locale <\/span>\"\" su M attorno a p e per ogni carta locale \"\" su N attorno a \"\", tali che \"\", la mappa<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

è di classe \"\" in \"\". Se poi \"\" è differenziabile in ogni \"\" allora si dice che \"\" è differenziabile. Diciamo poi che \"\" è un diffeomorfismo se è biiettiva e \"\" e \"\" sono entrambe differenziabili. <\/p>\n

Affermare che in \"\" ci sono infinite strutture differenziabili significa che esistono infiniti atlanti massimali su \"\" che generano varietà differenziabili. È probabile che la domanda faccia riferimento a un fatto che invece è specifico per \"\"<\/span>. Vale infatti un importante risultato: <\/span><\/p>\n

Teorema:<\/strong> Per ogni <\/span>\"\" tutte le varietà differenziabili costruibili sullo spazio topologico euclideo di \"\" sono tra loro diffeomorfe. Invece <\/span>esiste un'infinità (precisamente con la stessa cardinalità del continuo) <\/span>di varietà differenziabili costruibili sullo spazio topologico euclideo \"\"  tra loro non diffeomorfe.<\/span><\/p>\n

Per chiarire le idee facciamo un esempio in \"\" con topologia euclidea. Sia A l'atlante avente come carta locale l'applicazione identica e sia A' l'atlante avente come carta: <\/p>\n

\"\"<\/p>\n

per ogni U<\/span>j<\/sub> aperto. <\/span>È<\/span> evidente che A e A' non sono equivalenti, infatti <\/span><\/p>\n

\"\"<\/p>\n

non è \"\". Per il teorema sopra citato possiamo concludere che (\"\",A) e (<\/span>\"\",A') devono essere diffeomorfe. Si nota infatti che, scelta \"\", le applicazioni<\/span><\/p>\n

\"\"<\/p>\n

sono entrambe <\/span>\"\", e quindi \"\" è un diffeomorfismo.  <\/span><\/p>\n

Capita, invece,  che su \"\" esistono strutture differenziabili non diffeomorfe. Vengono dette \"\" esotici le varietà differenziabili su \"\" non diffeomorfe a (\"\",A), dove le carte locali in A sono applicazioni identiche. Equivalentemente si può affermare che un \"\" esotico è una varietà differenziabile omeomorfa ma non diffeomorfa allo spazio euclideo \"\". <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

[…]<\/p>\n","protected":false},"author":210,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[69],"tags":[],"class_list":["post-3586","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-geometria"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3586","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/users\/210"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=3586"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3586\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=3586"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=3586"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=3586"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}