Il teorema di Poincar\u00e8 afferma che un sistema dinamico \u00e8 destinato, dopo un tempo sufficientemente lungo, a tornare in uno stato simile a quello iniziale.<\/p>\n
Per capire meglio questa affermazione \u00e8 necessario familiarizzare con il linguaggio matematico dei sistemi dinamici.<\/p>\n
Un sistema dinamico \u00e8 un’insieme di equazioni che descrive l’evolversi nel tempo di un insieme di grandezze che, in genere, descrivono il comportamento di un sistema fisico. Ad esempio un sistema dinamico potrebbe essere l’insieme delle equazioni che descrivono il moto dei pianeti e del Sol del sistema solare che interagiscono tra loro mediante la forza di gravit\u00e0, in tal caso le grandezze sarebbeo le posizioni e le velocit\u00e0 dei diversi oggetti decritti. Un altro sistema dinamico potrebbe essere un insieme di equazioni che descrivono, in ambito meteorologico, come cambiano nel tempo e nello spazio la velocit\u00e0, la temperatura e la pressione dell’aria.<\/p>\n
Dal punto di vista matematico il modo pi\u00f9 semplice per analizzare le propriet\u00e0 di questi sistemi \u00e8 utilizzare quello che si chiama “Spazio delle Fasi”, un insieme in cui ogni elemento \u00e8 una sequenza di numeri, ciascun numero \u00e8 il valore di una delle grandezze coinvolte nelle equazioni del sistema dinamico. Nell’esempio del sistema solare uno di questi elementi sarebbe una lunga sequenza di numeri contenenete le tre coordinate del Sole e le tre componenti della sua velocit\u00e0 nonch\u00e9 le tre coordinate e le tre componenti delle velocit\u00e0 degli 8 pianeti principali (trascuriamo, per semplificare l’esempio, i pianeti nani e gli asteroidi). Un sistema dinamico che descrivesse una mole di\u00a0gas avrebbe uno spazio delle fasi in cui ciascun elemento \u00e8 una sequenza di circa 3.6*1024<\/sup> numeri (6 numeri, coordinate e componenti della velocit\u00e0, per ciascuna molecola di gas). Quindi ogni elemento dello spazio delle fasi rappresenta una possibile condizione, un possibile stato,\u00a0in cui si pu\u00f2 trovare il sistema fisico descritto dal sistema dinamico. Una volta scelta una condizione iniziale il sistema dinamico descrive le diverse condizioni che si realizzano negli istanti successivi e la cosa interessante \u00e8 che, per quanto possa essere complicato il sistema fisico di provenienza, i diversi stati si dispongono lungo una curva che attraversa lo spazio della fasi.<\/p>\n All’interno dello spazio delle fasi \u00e8 possibile costruire una metrica, cio\u00e8 una formula che fornisce un numero che ha il significato di distanza tra due elementi dello spazio delle fasi, cio\u00e8 tra due possibili stati del sistema dinamico.<\/p>\n Quello che afferma il teorema di Poincar\u00e8 \u00e8 che qualunque sia il valore d<\/strong><\/em>\u00a0che fissiamo, esiste un valore T<\/strong><\/em> del tempo, lontano dal valore iniziale 0<\/strong>, per cui la distanza tra lo stato iniziale e quello raggiunto al tempo T<\/em><\/strong> \u00e8 minore di d<\/em><\/strong>. Naturalmente questo teorema diventa significativo quando d<\/em><\/strong> \u00e8 molto piccolo, in particolare se d<\/strong><\/em> \u00e8 talmente piccolo da essere minore degli errori\u00a0sulle misure che siamo in grado di effettuare sul sistema fisico, perch\u00e8 in tal caso siamo praticamente icamapci di distinguere lo stato al tempo T<\/strong><\/em> da quello iniziale e possiamo legittimamente affermare che il sistema \u00e8 tornato nello stato iniziale. In pratica ogni sistema, alla lunga, si comporta come un corpo attaccato ad una molla in assenza di attrito che periodicamente torna nella stessa posizione con la stessa velocit\u00e0.<\/p>\n Tuttavia \u00e8 possibile dimostrare che il valore di T<\/strong><\/em> cresce fattorialmente al crescere della lunghezza della sequenza di numeri che costituisce l’elemento generico dello spazio delle fasi. Se per un singolo corpo attaccato ad una molla T<\/strong><\/em> pu\u00f2 anche essere frazioni di secondo, gi\u00e0 per un sistema microscopicamente grande (ma macroscopicamente piccolo) come una mole di gas T<\/strong><\/em> diventa centinaia di volte pi\u00f9 lungo della vita del nostro universo. Pertanto la reversibilit\u00e0 spontanea\u00a0macroscopica resta comunque impossibile da osservare praticamente.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" […]<\/p>\n","protected":false},"author":208,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[68],"tags":[],"class_list":["post-3517","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-domande-varie-matematica"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3517","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/users\/208"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=3517"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3517\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=3517"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=3517"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=3517"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}