{"id":3509,"date":"2014-03-18T00:00:00","date_gmt":"2014-03-17T23:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"3509","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/3509\/","title":{"rendered":"Se ci si limita a operazioni aritmetiche e radicali non esiste una formula \r\nrisolutiva generale per equazioni di grado superiore al 4\u00b0. Qual \u00e8 il \r\nragionamento logico che ha portato a dimostrare questo risultato? Se \r\nsi rimuove la limitazione suddetta, esistono formule risolutive \r\nutilizzando per esempio funzioni trascendenti? Potete indicarmene \r\nqualcuna?"},"content":{"rendered":"
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Purtroppo al primo quesito è impossibile dare una risposta in questa sede. La dimostrazione del fatto che non esiste una formula risolutiva generale per un’equazione polinomiale di grado superiore al quarto è molto complessa e si basa su una serie molto lunga e articolata di teoremi di teoria dei gruppi. Il primo a dimostrare questo teorema è stato Ruffini, il quale però commise una piccola imprecisione, tuttavia l’idea di fondo della sua dimostrazione era valida e originale e anni dopo Abel, seguendo lo stesso percorso indicato da Ruffini, riuscì a fornire una dimostrazione completa e corretta di questo risultato.<\/font><\/p>\n

Successivamente Galois sviluppo la teoria dei gruppi che porta il suo nome che permise di reinquadrare il risultato di Abel-Ruffini in un contesto più ampio. L’idea di fondo della dimostrazione si basa sul fatto che è possibile associare ad ogni equazione polinomiale un gruppo di simmetria. Date le n<\/em> radici di un polinomio p<\/em> di grado n<\/em> dobbiamo considerare tutte le possibili equazioni algebriche a coefficienti razionali che sono soddisfatte dalle suddette radici (non è necessario che ogni equazione coinvolga tutte le radici). Chiamiamo EA<\/em>(p<\/em>) l’insieme di tutte queste equazioni. Ad esempio se consideriamo il polinomio x<\/em>2<\/sup>-4x<\/em>+1 le sue radici sono A<\/em>=2+31\/2<\/sup> e B<\/em>=2-31\/2<\/sup> dove l’esponente 1\/2 è usato per indicare l’operazione di radice quadrata. Esempi di equazioni a coefficienti razionali soddisfatte da questi due numeri sono A<\/em>+B<\/em>=4, AB<\/em>=1, A<\/em>2<\/sup>+B<\/em>2<\/sup>-2AB<\/em>=12.<\/font><\/p>\n

A questo punto consideriamo il gruppo delle permutazioni dell’insieme delle soluzioni dell’equazione, cioè i diversi modi in cui possiamo scambiare tra loro un insieme composto da n<\/em> elementi distinti. Per un’equazione di primo grado esiste un’unica possibile permutazione, perché abbiamo un solo elemento nell’insieme da permutare, per un’equazione di secondo grado abbiamo 2 permutazioni, per una di terzo abbiamo 6 permutazioni, per una di quarto abbiamo 24 permutazioni, in generale per un’equazione di grado n<\/em> abbiamo n<\/em>! permutazioni. Alcune di queste permutazioni trasformano un’equazione di EA<\/em>(p<\/em>) in un altra equazione di EA<\/em>(p<\/em>), altre trasformano un’equazione di EA<\/em>(p<\/em>) in un’equazione che non appartiene ad EA<\/em>(p<\/em>). Le permutazioni del primo tipo formano il gruppo di Galois dell’equazione. Si dimostra che il Gruppo di Galois di un’equazione può essere risolubile o meno, dove la proprietà di risolubilità si basa su tutta una serie di altre proprietà dei gruppi che non è possibile riepilogare e spiegare in questa sede. Quando il Gruppo di Galois di un polinomio è risolubile allora è possibile calcolare tutte le radici del polinomio mediante un numero finito di operazioni radical-razionali. Risulta che il Gruppo di Galois di un polinomio è sempre risolubile se il grado dell’equazione è minore o uguale di 4, mentre per polinomi di grado superiore il Gruppo di Galois non è risolubile nel caso generale ma solo per casi particolari (ad esempio le equazioni bicubiche, in cui l’incognita compare solo con potenza 6 e 3, sono sempre risolvibili per radicali pur essendo di sesto grado).<\/font><\/p>\n

La limitazione di usare solo operazioni radical-razionali non è un vezzo, ma una richiesta che finora appare necessaria per esprimere in modo generale i numeri algebrici (che sono quell’insieme di numeri che sono soluzione di qualche equazione polinomiale a coefficienti razionali). Le operazioni trascendenti che conosciamo (esponenziale, logaritmo, funzioni goniometriche dirette e inverse) servono per risolvere alcuni tipi di equazioni trascendenti (cioè quelle equazioni espresse mediante queste operazioni). Considerando la possibilità di sviluppare in serie di Taylor queste operazioni ci si può rendere conto che le equazioni trascendenti possono essere considerate, sotto un certo punto di vista, equazioni polinomiali di grado infinito!<\/font><\/p>\n

Tuttavia non è escluso che ci siano particolari numeri algebrici che possano essere espressi mediante funzioni trascendenti. Anzi in passato sono stati dati metodi trascendenti per la risuoluzione di alcune equazioni polinomiale, ad esempio è possibile risolvere le equazioni polinomiali che descrivono la trisezione di un angolo mediante funzioni goniometriche. Ma è opinione largamente diffusa nella comunità matematica, opinione corroborata da diverse dimostrazioni parziali ma che non hanno ancora la giusta generalità, che, anche usando funzioni trascendenti, non si possa comunque costruire una formula risolutiva in generale per equazioni polinomiali a coefficienti razionali di grado superiore al quarto.
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