{"id":3375,"date":"2012-07-04T00:00:00","date_gmt":"2012-07-03T22:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"3375","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/3375\/","title":{"rendered":"Nelle scienze applicate, qual \u00e8 l’utilit\u00e0 di considerare topologie diverse \r\nda quella naturale su R?"},"content":{"rendered":"

Anche se è regola non rispondere ad una domanda con un’altra domanda andrebbe chiesto anzitutto cosa si intende esattamente con utilità della topologia di R<\/strong><\/em> nelle scienze applicate<\/em>. La topologia (generale) è lo studio delle proprietà topologiche<\/em> delle figure geometriche, ovvero di quelle proprietà che sono invarianti per deformazione topologica (per i più fini leggi applicazione continua, biiettiva con inversa continua). Lo studio degli spazi topologici è il fondamento strutturale dell’analisi matematica: infatti, lo spazio topologico è l’ambiente più generale possibile in cui è possibile dare la definizione di funzione continua o la definizione di limite di una funzione. La topologia generale e tutti i relativi sviluppi (topologia algebrica, differenziale, ecc…) trovano una vastissima applicazione all’interno della matematica, e precisamente in geometria algebrica e differenziale, le quali a loro a volta possono essere un importante mezzo di indagine per le scienze applicate.<\/p>\n

Cosa è una topologia. <\/strong>Assegnare una topologia su un insieme (non vuoto) X equivale a dire quali sono gli insiemi aperti<\/em> in X:  una topologia<\/em> su X è una famiglia di sottoinsiemi di X che contiene l’insieme vuoto, contiene X, ed è chiusa rispetto all’unione qualunque e rispetto all’intersezione finita. Un particolare e notevole esempio è dato dalla topologia indotta da una eventuale metrica: se (X,d) è uno spazio metrico e se denotiamo con Br<\/sub>(x) la palla di centro x e raggio r, ovvero<\/p>\n

Br<\/sub>(x):={y in X tali che d(x,y)<r}<\/p>\n

allora un sottoinsieme A di X si dice aperto se per ogni x in A esiste r>0 tale che Br<\/sub>(x) è contenuto in A; si verifica che la famiglia degli aperti di uno spazio metrico così definiti è effettivamente una topologia. Per quanto riguarda R<\/strong> la topologia, detta "naturale" dall’autore della domanda, è la topologia indotta dalla metrica euclidea d(x,y):=|x-y|; in tale topologia, ad esempio, gli intervalli aperti sono insiemi aperti, così come una qualunque unione di intervalli aperti.<\/p>\n

Qualche considerazione.<\/strong> Facciamo qualche considerazione di carattere geometrico relativa alle geometrie cosidette non-euclidee, come ad esempio la geometria della sfera o la geometria iperbolica. Più in genere si può parlare di varietà riemanniane<\/em>, cioè spazi curvi sopra i quali è ben definito un modo per calcolare le distanze. Sopra questi spazi, si pensi alle superfici in R3<\/sup><\/strong> per esempio, di solito si considera la topologia indotta da quella euclidea su R3<\/sup><\/strong>, ovvero gli aperti sulla superficie sono le intersezioni tra gli aperti di R3<\/sup><\/strong> e la superficie stessa: in questo modo si ottiene sulla superficie una topologia che è lontana dall’essere canonica, ma è in ogni caso quella canonica che si può mettere sulla superficie, in quanto deriva dalla topologia standard di R3<\/sup>.<\/strong> Dunque il voler considerare la geometria riemanniana come classe di esempi per dare una risposta esauriente alla domanda non è una scelta ottimale: è vero che si tratta di topologie diverse da quelle naturali ma risultano pur sempre indotte da queste ultime, a meno che uno voglia scegliere appositamente una topologia non naturale sulla superficie stessa in partenza.<\/p>\n

Per arrivare a comprendere come mai a volte vi è la stressa necessità di considerare topologie "non naturali" dobbiamo brevemente esaminare una proprietà topologica assai importante, che è la compattezza.<\/p>\n

Una proprietà topologica: la compattezza<\/strong>. Una delle proprietà topologiche più importanti per le applicazioni è la compattezza<\/em>: uno spazio topologico X si dice compatto se ogni suo ricoprimento fatto da insiemi aperti ammette un sottoricoprimento finito (un ricoprimento di X è una famiglia di sottoinsiemi di X tali per cui la loro unione è X). Questa definizione appare molto chiara considerando la topologia indotta dalla metrica euclidea su Rn<\/sup><\/strong>: un sottoinsieme K di Rn <\/sup><\/strong>è compatto1<\/sup> se e solo se è chiuso e limitato<\/u> (chiuso significa complementare di un aperto, mentre si osservi che la limitatezza non ha senso in uno spazio topologico qualunque); equivalentemente, e questa equivalenza vale più in generale negli spazi metrici, K è compatto se e solo se ogni successione in K ammette una sottosuccessione convergente. Quest’ultima proprietà, detta anche compattezza per successioni<\/em> è di fondamentale importanza per moltissimi problemi di analisi matematica: per i sottoinsiemi di Rn<\/sup> <\/strong>quindi si ha compattezza per successioni se e solo se si ha chiusura e limitatezza. In genere è relativamente facile mostrare che un insieme è chiuso e limitato, per cui tale equivalenza fornisce effettivamente uno strumento essenziale.<\/p>\n

Perché considerare topologie diverse da quella canonica.<\/strong> La breve trattazione al punto precedente non vale per quegli spazi vettoriali (anche metrici o topologici) che non hanno dimensione finita: un tipico esempio è dato da molti spazi di funzioni. Purtroppo, per questi spazi la compattezza per successioni non equivale all’essere chiuso e limitato. Dal momento che la necessità di avere successioni con estratte convergenti è essenziale per molti problemi, tipicamente variazionali o di equazioni alle derivate parziali, la strategia consiste nel cambiare topologia<\/u>. Più precisamente, quello che si cerca è una nuova topologia che possa rispondere al seguente problema: un sottoinsieme chiuso e limitato rispetto alla metrica assegnata sullo spazio X (ricordiamo che questa condizione è in genere facile da verificare) sia compatto per successioni rispetto alla nuova topologia. Questo problema ha una soluzione nella teoria delle cosidette topologie deboli, <\/em>le quali rappresentano uno degli strumenti fondamentali in analisi matematica: questo fatto illustra bene anche la necessità di poter lavorare con topologie diverse da quelle canoniche.<\/p>\n

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1<\/sup>Se K è un sottoinsieme di uno spazio topologico X allora su K si considera la topologia indotta<\/em> da X: A sottoinsieme di K è aperto se e solo se A=K∩B con B aperto in X.<\/p>\n

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