{"id":3342,"date":"2012-03-31T00:00:00","date_gmt":"2012-03-30T22:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"3342","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/3342\/","title":{"rendered":"Aggiungiamo ad un sistema matematico S (per cui valgano i teoremi di \r\nGodel) l’assioma “S \u00e8 corretto”. Apparentemente, il sistema cos\u00ec \r\nottenuto pu\u00f2 dimostrare la propria correttezza (aggiungendo ad un \r\nsistema corretto un assioma vero si ha un sistema corretto) e quindi la \r\npropria coerenza, quindi \u00e8 incoerente, quindi S non \u00e8 corretto. Qual \u00e8 \r\nl’errore?"},"content":{"rendered":"

Per capire dove è l'errore bisogna chiarire meglio cosa è un sistema assiomatico. Un sistema assiomatico è un set di proposizioni formalizzate, per esempio, come accade per la classica teoria ZF per la matematica, nel linguaggio della logica dei predicati del primo ordine. Una delle cose che ha dimostrato Gödel riguardo ai sistemi assiomatici che contengono l'aritmetica di Peano è stato il seguente fatto: l'affermazione "S è coerente" è formalizzabile nell'aritmetica stessa, cioé è una proposizione dell'aritmetica; inoltre se S è coerente allora l'affermazione  "S è coerente" è indecidibile (secondo teorema di Gödel) nell'aritmetica stessa. Aggiungere a S l'assioma "S è coerente" fa ottenere un sistema assiomatico più potente, ma siccome esso contiene ancora l'aritmetica di Peano i teoremi di Gödel valgono anche per questo nuovo sistema assiomatico, che quindi in particolare non può dimostrare la propria coerenza. Di fatto, dal punto di vista metamatematico, aggiungere a S l'assioma "S è coerente" non modifica la coerenza.<\/p>\n

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