{"id":3305,"date":"2012-01-11T00:00:00","date_gmt":"2012-01-10T23:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"3305","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/3305\/","title":{"rendered":"Una leva porta attaccato al fulcro centrale (il suo perno dove \u00e8 libera di ruotare) un indice che in equilibrio punta verso l’alto (h 12 oppure 0\u00b0). Se faccio assumere una nuova posizione non orizzontale di equilibrio \r\n(spostando i pesetti di un braccio) senza superare i 90\u00b0, come viene indicato in \u00b0 dall’indice lo spostamneto ?"},"content":{"rendered":"

Nella domanda c’è un errore di fondo. Un’asta libera di ruotare intorno ad un suo punto a cui siano sospesi dei carichi massivi è in equilibrio qualunque sia la sua inclinazione, purché i diversi pesi (tra cui va considerato anche il peso dell’asta se il fulcro non coincide con il suo centro di massa) rispettino la regola della leva. Se invece i pesi non rispettano la regola della leva allora l’unica posizione di equilibrio è quella verticale. Diverso è il caso se l’asta ruota intorno ad un punto che è ad essa esterna (naturalmente mediante un qualche sistema di ancoraggio).<\/font><\/p>\n

Analizziamo questi diversi sistemi mediante le leggi della statica. Il principio fondamentale della statica afferma che un corpo è in equilibrio meccanica se sia la somma delle forze agenti su di esso sia la somma dei momenti delle forze agenti su di esso sono nulle. Nel caso dei sistemi in esame la prima parte di questo principio fondamentale, quella riguardante direttamente le forze, è praticamente rispettata in modo automatico perché a contrastare direttamente i pesi "ci pensa" la reazione vincolare del fulcro (naturalmente se il carico non supera il limite di rottura). Invece non è automatico il rispetto della seconda parte, quella relativa ai momenti delle forze. Per semplicità consideriamo la massa dell’asta trascurabile.<\/font><\/p>\n

Consideriamo quindi il primo caso, quello di un asta incernierata in un suo punto<\/font><\/p>\n

\"\"<\/font><\/p>\n

Come detto precedentemente, l’equilibrio si realizza se la somma dei momenti rispetto al fulcro F<\/em> delle forze presenti è uguale a zero. Il momento della reazione vincolare del fulcro è nullo perché il polo del momento coincide con il punto di applicazione della forza. Le due forze peso hanno invece momento non nullo, per cui la condizione di equilibrio è<\/font><\/p>\n

P<\/em>1<\/sub> L<\/em>1<\/sub> sinA<\/em>1<\/sub>_<\/sup>P<\/em>2<\/sub> L<\/em>2<\/sub> sinA<\/em>2<\/sub>=0<\/font><\/p>\n

Dove A<\/em>1<\/sub> e A<\/em>2<\/sub> sono, rispettivamente, l’angolo tra il braccio L<\/em>1<\/sub> e il vettore peso P<\/em>1<\/sub> e l’angolo tra il braccio L<\/em>2<\/sub> e il vettore peso P<\/em>2<\/sub>. Dato che le forze sono parallele tra loro così come i due bracci allora i due angoli sono complementari e quindi i loro seni sono uguali. Di conseguenza l’equazione precedente diventa<\/font><\/p>\n

<\/p>\n

P<\/em>1<\/sub> L<\/em>1<\/sub>=P<\/em>2<\/sub> L<\/em>2<\/sub><\/font><\/p>\n

che è la nota regola della leva. Questa equazione è indipendente dall’ampiezza degli angoli e quindi è indipendente dall’angolo che l’asta forma con una retta di riferimento (diciamo una verticale). Pertanto, se i pesi e i bracci sono in accordo con la regoal della leva l’asta sarà in equilibrio a qualunque inclinazione.<\/font><\/p>\n

Consideriamo ora il caso in cui il fulcro sia un punto esterno all’asta<\/font><\/p>\n

<\/font><\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Rispetto a prima compare una seconda asta, di lunghezza D<\/em>, che collega il fulcro con l’asta principale e che per semplicità consideriamo perpendicolare ad essa. Inoltre i bracci che dovremo considerare per calcolare i momenti  non corrispondono a pezzi dell’asta ma ai segmenti rettilinei che vanno dal fulcro F<\/em> ai punti di applicazione dei due pesi (linee tratteggiate in verde). Imponendo la condizione di equilibrio sui momenti otteniamo un’equazione formalmente uguale al caso precedente<\/font><\/p>\n

 P<\/em>1<\/sub> R<\/em>1<\/sub> sin(B<\/em>1<\/sub>+A<\/em>1<\/sub>)_<\/sup>P<\/em>2<\/sub> R<\/em>2<\/sub> sin(B<\/em>2<\/sub>+A<\/em>2<\/sub>)=0<\/font><\/p>\n

con la fondamentale differenza che gli angoli stavolta non sono complementari perché i bracci non sono paralleli tra loro. Infatti abbiamo scritto i due angoli presenti nel calcolo dei momenti come somma degli angoli A<\/em>, che sono gli stessi di prima, cioè gli angoli tra l’asta principale e i vettori peso, e degli angoli B<\/em>, che sono invece quelli tra i bracci in verde e l’asta principale. Gli angoli A<\/em>, come prima, sono complementari e quindi hanno lo stesso seno e coseno opposto, inoltre A<\/em>1<\/sub> può essere scritto come 90°+I<\/em> dove I<\/em> è l’angolo di inclinazione dell’asta D<\/em> rispetto alla verticale (A<\/em>2<\/sub> sarà 90°_<\/sup>I<\/em>). I due angoli B<\/em> sono collegati tra loro dal fatto che ciascun braccio, con l’asta D<\/em> e parte dell’asta principale forma un triangolo rettangolo. Per cui deve risultare<\/font><\/p>\n

R<\/em>1<\/sub> sinB<\/em>1<\/sub>=R<\/em>2<\/sub> sinB<\/em>2<\/sub>=D<\/em><\/font><\/p>\n

R<\/em>1<\/sub> <\/em>cosB<\/em>1<\/sub>=L<\/em>1<\/sub> , R<\/em>2<\/sub> <\/em>cosB<\/em>2<\/sub>=L<\/em>2<\/sub><\/font><\/p>\n

Mettendo insieme queste equazioni e manipolandole in modo da eliminare gli angoli A<\/em> e B<\/em> si perviene alla formula<\/font><\/p>\n

\"\"<\/font><\/p>\n

che permette di calcolare l’angolo di equilibrio richiesto.<\/font><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

[…]<\/p>\n","protected":false},"author":208,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[51],"tags":[],"class_list":["post-3305","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-meccanica"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3305","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/users\/208"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=3305"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3305\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=3305"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=3305"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=3305"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}