{"id":32,"date":"2001-09-04T00:00:00","date_gmt":"2001-09-03T22:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"32","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/32\/","title":{"rendered":"Vorrei capire le assunzioni che portarono all’equazione di Schroedinger. In particolare quella di Born sulla normalizzazione. Inoltre vorrei sapere come si ricavano le Leggi di Newton dall’ equazione di Schroedinger."},"content":{"rendered":"

In realt\u00e0 la teoria non \u00e8 molto semplice
\n e richiede un po\u2019 di base matematica. Cercher\u00f2 di spiegare in maniera
\n il pi\u00f9 semplice possibile.<\/p>\n

In fisica classica si ha a che fare con grandezze come
\n posizione, quantit\u00e0 di moto e altri osservabili intendendoli come
\n funzione del tempo.<\/p>\n

Nel caso di una particella di massa m sottoposta ad un
\n moto armonico semplice, la legge di Newton ha la forma:<\/p>\n

md2<\/sup>x\/dt2<\/sup> = F<\/i><\/p>\n

Con una forza proporzionale allo spostamento, F = –k<\/i>x(t).
\n Una soluzione \u00e8:<\/p>\n

x(t) = A cos w<\/font>t\tw<\/font>
\n = (k<\/i>\/m)1\/2<\/sup><\/p>\n

La quantit\u00e0 di moto p = m dx\/dt diviene allora:<\/p>\n

p(t) = -mAw<\/font> sin w<\/font>t<\/p>\n

se ora noi scriviamo le due quantit\u00e0 xp e px,
\n esse risulteranno in maniera banale identiche:<\/p>\n

xp = px = -mA2<\/sup> w<\/font>
\n sinw<\/font>t cos w<\/font>t<\/p>\n

ed \u00e8 ovvio che <\/p>\n

xp \u2013 px = 0<\/p>\n

Bene, sembra banale ma non lo \u00e8. Il maggiore contributo
\n di Heisenberg alla meccanica quantistica \u00e8 il fatto che questa
\n quantit\u00e0, per quanto piccola, non \u00e8 zero. In meccanica classica
\n questa quantit\u00e0 \u00e8 considerata zero, e tale approssimazione
\n non inficia il valore dei risultati, ad esempio, nei crash-test dei veicoli
\n o nella progettazione degli edifici. In meccanica quantistica, tuttavia,
\n dobbiamo considerarla. Heisenberg ipotizz\u00f2 che ci fosse una connessione
\n tra il non-zero e la costante di Planck h<\/i>. Cos\u00ec \u00e8.
\n Si ha infatti che, per ottenere accordo fra teoria e dati sperimentali
\n deve essere:<\/p>\n

(1) xp \u2013 px = iħ dove ħ = h<\/i>\/2p<\/font><\/p>\n

Che cosa sono allora x e p? Per rispondere a questa domanda
\n i quanto meccanici si chiesero cosa, in matematica, non rispettasse la
\n regola AB-BA = 0. <\/p>\n

A e B possono essere matrici. Nel calcolo matriciale,
\n infatti, l\u2019ordine delle operazioni di moltiplicazione, divisione cos\u00ec
\n come l\u2019ordine degli operandi \u00e8 non commutabile. Scambiando l\u2019ordine
\n il risultato cambia.<\/p>\n

Un\u2019altra interpretazione fu: x e p sono OPERATORI. Ad
\n esempio, sono operatori l\u2019operatore logaritmo (Log), radice quadrata (√),
\n seno e coseno ecc. Per esempio, infatti:<\/p>\n

log(√(3)) = 0.2385<\/p>\n

√(log(3)) = 0.6907<\/p>\n

Ora, log, sen e cos ecc. operano su numeri, funzioni,
\n e cos\u00ec via. x e p operano anch\u2019essi su funzioni. Infatti scrivere
\n xp \u2013 px = iħ significa implicitamente includere l\u2019operando ossia
\n specificare l\u2019operando y<\/font> dopo ogni termine,
\n come segue:<\/p>\n

(2) xpy<\/font> \u2013 pxy<\/font>
\n = iħy<\/font> (i = √(-1) ossia i*i = -1)<\/p>\n

A sinistra ci sono due termini: nel primo, a y<\/font>
\n prima opero con p poi su py<\/font> opero con x. Nel
\n secondo viceversa. (xp \u2013 px) funziona esso stesso come un operatore.<\/p>\n

Affinch\u00e9 sia valida la (2) si ha che <\/p>\n

(3) p = (ħ\/i)(d\/dx)<\/p>\n

Infatti:<\/p>\n

xpy<\/font> = x(ħ\/i)(d\/dx)y<\/font><\/p>\n

pxy = <\/font>(ħ\/i)(d\/dx)xy<\/font>
\n = (ħ\/i)y<\/font> + x(ħ\/i)(d\/dx)y<\/font><\/p>\n

e quindi\u00a0:<\/p>\n

xpy<\/font> \u2013 pxy<\/font>
\n = -(ħ\/i)y<\/font> = iħy<\/font><\/p>\n

Ora siamo giunti a sapere cosa sono x e p e come funzionano.<\/p>\n

Come \u00e8 l\u2019espressione dell\u2019energia totale per un
\n oscillatore armonico<\/u>? Classicamente:<\/p>\n

E = E(cinetica)<\/sub> + E(potenziale)<\/sub>
\n = (p2<\/sup>)\/2m + \u00bd k<\/i>x2<\/sup><\/p>\n

E in termini quantistici, inserendo la (3) si ottiene:<\/p>\n

\"\"\/<\/p>\n

\u00a0<\/p>\n

Ora, analogamente a p e a x, anche E funziona come un
\n operatore, ossia:<\/p>\n

(4) \"\"\/<\/p>\n

La (4) \u00e8 la forma della Equazione di Schr\u00f6dinger
\n indipendente dal tempo per un oscillatore armonico. La funzione y<\/font>
\n prende il nome di funzione d\u2019onda e rappresenta analiticamente il sistema,
\n contiene informazioni sul suo comportamento nello spazio e sulla sua energia.
\n [1]<\/sup><\/p>\n

Per un sistema generico, ci\u00f2 che varia \u00e8
\n l\u2019espressione della energia potenziale. Questa \u00e8 \u00bd k<\/i>x2<\/sup>
\n per l\u2019oscillatore armonico, in generale sar\u00e0 una funzione (o meglio
\n un operatore) V(x). Pertanto, l\u2019equazione di Schr\u00f6dinger sar\u00e0:<\/p>\n

(5) \"\"\/<\/p>\n

Se ora definisco l\u2019operatore hamiltoniano:<\/p>\n

\"\"\/<\/p>\n

la (5) diverr\u00e0: H<\/i>y<\/font>
\n = Ey<\/font><\/p>\n

Che cosa significa, in maniera molto semplificata? Dato
\n un sistema, ad esso sar\u00e0 associato, pi\u00f9 o meno complicato,
\n un suo operatore hamiltoniano. Risolvere l\u2019equazione di Schr\u00f6dinger
\n significa trovare quelle (in genere pi\u00f9 di una) funzioni y<\/font>
\n tali che, operando su queste tutte le operazioni dell\u2019operatore H<\/i>,
\n la lasciano sostanzialmente inalterata, solamente moltiplicata per un
\n numero E.<\/p>\n

Ad esempio, se fosse H<\/i> = d\/dx, allora si avrebbe
\n y<\/font> = e<\/i>nx<\/sup>.<\/p>\n

Infatti <\/p>\n

\"\"\/<\/p>\n

In pratica in questo modo la costante n \u00e8 il valore
\n dell\u2019energia per la funzione y<\/font> = e<\/i>nx<\/sup>.
\n Esisteranno in questo caso infinite funzioni, una per ogni n, ognuna con
\n energia n.<\/p>\n

Che interpretazione diedero i quantomeccanici della funzione
\n d\u2019onda y<\/font>?<\/p>\n

y<\/font> dipende dal punto nello
\n spazio e dall\u2019istante che si considera, ossia y<\/font>
\n = y<\/font>(x,t) ed \u00e8 in generale una funzione
\n complessa (ovvero, definita nel campo dei numeri complessi). Una probabilit\u00e0,
\n invece, \u00e8 un numero reale compreso fra 0 e 1. Sulla base di numerose
\n considerazioni, e osservando che il quadrato di un numero complesso \u00e8
\n un numero reale, Born fece una ipotesi.<\/p>\n

Ipotizz\u00f2 che il quadrato di y<\/font>,
\n |y<\/font>(x,t)|2<\/sup>, dovesse essere il valore
\n della probabilit\u00e0 di incontrare la particella il cui moto \u00e8
\n descritto da y<\/font>, nella posizione x all\u2019istante
\n t.<\/u><\/p>\n

Siccome per ipotesi la particella esiste, allora deve
\n trovarsi, indipendentemente dall\u2019istante considerato, da qualche parte
\n nello spazio. La somma di tutte le probabilit\u00e0 per ogni punto x
\n deve essere 1 (da qualche parte la particella deve esistere) ovvero:<\/p>\n

(6) \"\"\/<\/p>\n

La (6) \u00e8 chiamata CONDIZIONE DI NORMALIZZAZIONE.
\n Ogni funzione d\u2019onda deve verificare questa condizione.<\/p>\n

Abbiamo visto come, per valutare l\u2019energia di y<\/font>,
\n bisogna operare con l\u2019operatore Hamiltoniano. Analogamente, se voglio
\n ad esempio valutare il valore della quantit\u00e0 di moto p, dovr\u00f2
\n operare su y<\/font> con l\u2019operatore p = (ħ\/i)(d\/dx).
\n Ad ogni grandezza fisica \u00e8 associato uno specifico operatore.<\/u>
\n Il valore numerico relativo alla energia di y<\/font>,
\n ossia E, viene anche indicato con la notazione <H<\/i>>. Analogamente,
\n il valore numerico relativo alla quantit\u00e0 di moto di y<\/font>
\n viene indicato con <p> e cos\u00ec via. In generale, il valore
\n numerico relativo ad una grandezza fisica \u00e8 il valore numerico
\n <W<\/font>> del suo operatore W.<\/font>
\n <W<\/font>> viene detto valore di aspettazione<\/u>,
\n ed \u00e8 il valore pi\u00f9 probabile per la grandezza associata
\n a quell\u2019operatore. Il valore di aspettazione di H<\/i>, indicato<H<\/i>>,
\n \u00e8 appunto E.<\/p>\n

E\u2019 dimostrabile che il valore di <W<\/font>>
\n varia nel tempo secondo la relazione:<\/p>\n

(7) \"\"\/<\/p>\n

Dalla (7) si ricava che una grandezza fisica \u00e8
\n una costante del moto (ovvero il suo valore non varia col trascorrere
\n del tempo), quando vale la relazione sotto riportata:<\/p>\n

\"\"\/<\/p>\n

Che cosa succede se considero W<\/font>
\n = p ?<\/p>\n

\"\"\/<\/p>\n

e con alcuni semplici passaggi matematici si ottiene:<\/p>\n

\"\"\/<\/p>\n

(Hp \u2013 pH) \u00e8 nullo se dV\/dx \u00e8 nullo. In
\n pratica, l\u2019operatore p d\u00e0 un valore <p> costante se il valore
\n di dV\/dx \u00e8 nullo, ossia se l\u2019operatore energia potenziale \u00e8
\n tale che <V> \u00e8 costante su tutto lo spazio.<\/p>\n

In termini classici, la derivata su x del potenziale
\n \u00e8 una forza (-dV\/dx = F), mentre p = mv.<\/u><\/p>\n

Se il valore della forza agente su un corpo \u00e8
\n nullo, allora la quantit\u00e0 di moto, e quindi la velocit\u00e0,
\n \u00e8 costante. <\/u><\/p>\n

E questa \u00e8 la prima legge di Newton. <\/u><\/p>\n

Andiamo oltre:<\/p>\n

Abbiamo visto che \"\"\/
\n e pertanto se W<\/font> = p si ottiene:<\/p>\n

\u00a0<\/p>\n

\"\"\/<\/p>\n

ma se in termini classici p = mv, allora dp\/dt = mdv\/dt
\n = ma<\/i>, ossia il valore della massa moltiplicato per la accelerazione.<\/u><\/p>\n

Il valore di una forza che agisce su un corpo \u00e8
\n uguale alla massa del corpo stesso per la sua accelerazione.<\/u><\/p>\n

E questa \u00e8 la seconda legge di Newton.<\/u><\/p>\n

\u00a0<\/p>\n

[1] In verit\u00e0 la funzione d\u2019onda non \u00e8
\n soluzione della equazione di Schr\u00f6dinger indipendente dal tempo,
\n ma di una equaz. differente, dipendente dal tempo. In generale, tuttavia,
\n il potenziale V in generale pu\u00f2 essere espresso come V(x), ossia
\n indipendente dal tempo. In tal caso, la risoluzione della eq. di Schr\u00f6dinger
\n dipendente dal tempo si riconduce a risolvere quella indipendente, e moltiplicare
\n la soluzione cos\u00ec ottenuta per una funzione che ha forma analoga
\n a quella di un\u2019onda stazionaria.<\/p>\n

\u00a0<\/p>\n

TESTI CONSIGLIATI:<\/p>\n

I libri riguardanti la meccanica quantistica sono numerosissimi.
\n Mi limiter\u00f2 a riportarne due:<\/p>\n

P.A.M. Dirac, The principles of quantum mechanics<\/i>,
\n Oxford Univ. Press, 4th<\/sup> ed. 1954<\/p>\n

P.W. Atkins, Molecular Quantum Mechanics<\/i>, Oxford
\n Univ. Press, 2nd<\/sup> ed. 1983<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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