{"id":317,"date":"2003-08-13T00:00:00","date_gmt":"2003-08-12T22:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"317","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/317\/","title":{"rendered":"Come si ottengono le formule risolutive delle equazioni di 3o<\/sup> e 4o<\/sup> grado? E come si dimostra che oltre il quarto grado non esistono formule risolutive?"},"content":{"rendered":"

La domanda posta richiede una risposta pi\u00f9 lunga,
\napprofondita e elaborata di quanto \u00e8 opportuno trattare in questo
\nspazio, quindi in questa pagina riporto solo i fatti salienti e passaggi
\npi\u00f9 delicati mettendo in evidenza gli aspetti generali dell’argomento
\nevitando i noiosi calcoli, per i quali rimando ai siti elencati alla fine di
\nquesta breve esposizione. <\/font><\/p>\n


<\/font><\/p>\n

Nozioni generali sulle equazioni algebriche<\/b><\/font><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Considerato un polinomio
\nPn<\/sub><\/i>(x<\/i>)\u00a0=\u00a0an<\/sub>xn<\/sup><\/i>\u00a0+\u00a0a<\/i>n<\/i>-1<\/sub>x<\/i>n<\/i>-1<\/sup>\u00a0+\u00a0…\u00a0+\u00a0a<\/i>1<\/sub>x<\/i>\u00a0+\u00a0a<\/i>0<\/sub>
\ndi grado n<\/i>, \u00e8 detto zero<\/i> di
\nPn<\/sub><\/i>(x<\/i>) un qualsiasi numero z<\/i> (reale o
\ncomplesso) per il quale si abbia
\nPn<\/sub><\/i>(z<\/i>)\u00a0=\u00a0an<\/sub>zn<\/sup><\/i>\u00a0+\u00a0a<\/i>n<\/i>-1<\/sub>z<\/i>n<\/i>-1<\/sup>\u00a0+\u00a0…\u00a0+\u00a0a<\/i>1<\/sub>z<\/i>\u00a0+\u00a0a<\/i>0<\/sub>\u00a0=\u00a00.
\nRisulta subito evidente che, in base alla definizione appena enunciata, la
\nricerca degli zeri di Pn<\/sub><\/i>(x<\/i>) \u00e8 equivalente
\nalla ricerca delle soluzioni (radici) dell’equazione algebrica: <\/font><\/p>\n

an<\/sub>xn<\/sup><\/i>\u00a0+\u00a0a<\/i>n<\/i>-1<\/sub>x<\/i>n<\/i>-1<\/sup>\u00a0+\u00a0…\u00a0+\u00a0a<\/i>1<\/sub>x<\/i>\u00a0+\u00a0a<\/i>0<\/sub>\u00a0=\u00a00.
\n\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0(1) <\/font><\/p>\n

Si pu\u00f2 facilmente dimostrare che se z<\/i> \u00e8
\nuno zero di Pn<\/sub><\/i>(x<\/i>) allora il polinomio
\nx<\/i>\u00a0–\u00a0z<\/i> divide Pn<\/sub><\/i>(x<\/i>) e
\nviceversa, se x<\/i>\u00a0–\u00a0z<\/i> divide
\nPn<\/sub><\/i>(x<\/i>), allora z<\/i> \u00e8 uno zero di
\nPn<\/sub><\/i>(x<\/i>). Se indichiamo con
\nP<\/i>n<\/i>-1<\/sub>(x<\/i>) il polinomio quoziente di questa
\ndivisione, pu\u00f2 capitare che z<\/i> sia anche uno zero di questo
\npolinomio e in tal caso si dimostra che il polinomio
\n(x<\/i>\u00a0–\u00a0z<\/i>)2<\/sup> divide
\nPn<\/sub><\/i>(x<\/i>): in tal caso, z<\/i> \u00e8 detto zero
\ndi molteplicit\u00e0 <\/i>2. In generale, se
\n(x<\/i>\u00a0–\u00a0z<\/i>)k<\/i><\/sup> divide
\nPn<\/sub><\/i>(x<\/i>), allora z<\/i> \u00e8 detto zero di
\nmolteplicit\u00e0 k<\/i> e, in analogia a tale terminologia, z<\/i>,
\n\u00e8 detta soluzione k-upla<\/i> dell’equazione (1). Il teorema
\nfondamentale dell’algebra<\/i> afferma che Pn<\/sub><\/i>(x<\/i>)
\nammette esattamente n<\/i> zeri, a patto di considerare ciascuno di essi
\ncon la propria molteplicit\u00e0, ossia, se z<\/i>1<\/sub>,
\nz<\/i>2<\/sub>, …, zm<\/sub><\/i> sono zeri di
\nmolteplicit\u00e0 rispettivamente k<\/i>1<\/sub>,
\nk<\/i>2<\/sub>, …, km<\/sub><\/i>, allora
\nk<\/i>1<\/sub>\u00a0+\u00a0k<\/i>2<\/sub>\u00a0+\u00a0…\u00a0+\u00a0km<\/sub><\/i>\u00a0=\u00a0n<\/i>
\ne Pn<\/sub><\/i>(x<\/i>) si pu\u00f2 scrivere nel seguente modo:
\n<\/font><\/p>\n

\"\"\/<\/font><\/p>\n

Un altro risultato importante \u00e8 che se
\nz<\/i>\u00a0=\u00a0a<\/i>\u00a0+\u00a0ib<\/i> \u00e8 una radice
\ncomplessa di Pn<\/sub><\/i>(x<\/i>), allora anche il suo complesso
\nconiugato z’<\/i>\u00a0=\u00a0a<\/i>\u00a0–\u00a0ib<\/i> \u00e8 una
\nradice di Pn<\/sub><\/i>(x<\/i>); da questo segue immediatamente che
\nse n<\/i> \u00e8 dispari l’equazione (1) ammette almeno una soluzione
\nreale, mentre se n<\/i> \u00e8 pari essa potrebbe ammettere solo
\nsoluzioni complesse non reali. <\/font><\/p>\n


<\/font><\/p>\n

Equazione di terzo grado<\/b><\/font><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Considerata l’equazione
\ndi terzo grado <\/font><\/p>\n

ax<\/i>3<\/sup>\u00a0+\u00a0bx<\/i>2<\/sup>\u00a0+\u00a0cx<\/i>\u00a0+\u00a0d<\/i>\u00a0=\u00a00
\n\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0(2), <\/font><\/p>\n

per quanto prima asserito si possono verificare i seguenti
\ncasi: <\/font><\/p>\n