{"id":3158,"date":"2010-05-15T00:00:00","date_gmt":"2010-05-14T22:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"3158","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/3158\/","title":{"rendered":"Nel calcolo dell’integrale definito devo tenere conto degli intervalli dove la funzione \u00e8 negativa allo scopo di non decurtare il calcolo totale dell’area. Ovvio a questo inconveniente moltiplicando per -1 tali intervalli, il risultato deve essere sempre un valore positivo? O anche negativo, dato che la scelta appare del tutto arbitraria."},"content":{"rendered":"
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L’integrale definito di una funzione reale di una variabile reale tradizionalmente viene presentato come il metodo di calcolo dell’area compresa tra il grafico della funzione e l’asse delle ascisse nell’intervallo di integrazione.<\/font><\/p>\n

Tale "definizione" proviene probabilmente dal fatto che il calcolo di queste aree è stato il motivo che ha dato origine al formalismo del calcolo integrale.<\/font><\/p>\n

Tuttavia quanto eseguiamo un integrale definito di una funzione che cambia segno nell’intervallo di integrazione, le zone del grafico che corrispondono a valori negativi della funzioni danno un contributo negativo al valore dell’integrale definito.<\/font><\/p>\n

A questo punto nasce quindi l’interrogativo della domanda e cioè se sia corretto calcolare l’integrale definito così come si presenta oppure se sia più corretto spezzettarlo negli intervalli in cui la funzione ha segno costante e poi cambiare "a mano" il segno degli integrali riferiti alle zone negative.<\/font><\/p>\n

La risposta a questo interrogativo non è univoca ma dipende dall’uso che si deve fare del risultato dell’integrale definito da calcolare.<\/font><\/p>\n

Se effettivamente si vuole conoscere l’area della figura che ha per bordo l’asse delle ascisse e il grafico della funzione allora il procedimento indicato nella domanda è corretto: si scompone il dominio di integrazione negli intervalli in cui la funzione integranda è positiva e in cui è negativa e poi si cambia il segno della funzione in questi ultimi. In tal caso, essendo l’area una grandezza geometrica definita positiva il risultato dell’integrale deve essere positivo e questo appunto è ottenuto con il procedimento descritto.<\/font><\/p>\n

Tuttavia un integrale definito può servire per altri scopi: per esempio per calcolare il lavoro fatto da una forza non costante su un oggetto in movimento oppure, se non si vuole abbandonare l’ambito strettamente matematico, per calcolare il valore medio di una certa funzione all’interno di un intervallo. In questi due casi l’integrale va svolto così come si presenta senza modificare il segno della funzione in alcun punto. In questi casi il risultato non deve per forza essere positivo, può anche essere negativo o nullo, pertanto la funzione non va alterata nella sua forma.<\/font><\/p>\n

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