{"id":3149,"date":"2010-05-15T00:00:00","date_gmt":"2010-05-14T22:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"3149","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/3149\/","title":{"rendered":"Non ho ben chiaro il concetto di funzione lipschitziana e come \u00e8 ottenibile la costante di lipschitz. E’ possibile inoltre fare un esempio di funzione reale uniformemente continua ma non Lipschitziana?"},"content":{"rendered":"

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La lipschitzianità di una funzione è una proprietà molto interessante in analisi matematica grazie alla flessibilità, alle proprietà delle funzioni lipschitziane e alla generalità dell’ambiente dove il concetto di funzione lipschitziana si può trattare. Allo scopo chiarificatore della domanda posta trattiamo però solo il caso di una variabile reale, lasciando perdere ogni tipo di generalizzazione.<\/p>\n

Definizione<\/em>. Sia I un intervallo in R<\/strong>, eventualmente illimitato. Una funzione f : I → R <\/strong>si dice lipschitziana<\/em> se esiste una costante L>0 tale per cui si abbia<\/p>\n

|f(x)-f(y)|≤L|x-y| per ogni x,y∈I.     (1)<\/p>\n

La miglior costante (ovvero la più bassa) che rende vera la (1) viene anche detta costante di Lipschitz di f.<\/p>\n

Esempi<\/em>. La funzione f : R <\/strong>→ R<\/strong> data da f(x)=|x| è una funzione lipschitziana con costante di Lipschitz L=1. Infatti per note proprietà del valore assoluto si ha<\/p>\n

|f(x)-f(y)|=||x|-|y||≤|x-y|<\/p>\n

e inoltre se x,y>0 allora ||x|-|y||=|x-y|, per cui L=1 è effettivamente la miglior costante per cui valga la condizione (1). Si noti che in particolare quindi la lipschitzianità non implica la derivabilità, almeno in ogni punto. La funzione f : R <\/strong>→ R<\/strong> data da f(x)=x2<\/sup> non è una funzione lipschitziana; infatti se lo fosse allora dovrebbe esistere L>0 tale per cui |x2<\/sup>-y2<\/sup>|≤L|x-y| per ogni x,y∈R<\/strong>. Se consideriamo x,y>0 con x>y si ha quindi che dovrebbe essere x2<\/sup>-y2<\/sup>≤L(x-y) che equivale a x+y≤L, che è assurdo potendo mandare y→+∞.<\/p>\n

Una funzione f è quindi lipschitziana se il suo grafico non si "impenna troppo"; questa suggestiva idea geometrica può essere resa precisa dal seguente risultato:<\/p>\n

Proposizione 1<\/em>. Sia (a,b) un intervallo aperto in R<\/strong> eventualmente illimitato e sia  f : (a,b) → R<\/strong> una funzione derivabile. Allora f è lipschitziana se e solo se la funzione f’ : (a,b) → R<\/strong> è limitata.<\/p>\n

Dimostrazione<\/em>. Supponiamo f lipschitziana con costante di Lipschitz L. Allora per ogni x∈(a,b) e per ogni h>0 abbastanza piccolo si ha, utilizzando la (1), |f(x+h)-f(x)|≤L|h|. Dividendo per h e passando al limite si ottiene |f'(x)|≤L. Viceversa supponiamo f derivabile con |f'(x)|≤c per ogni x∈(a,b), per una certa costante c>0. Siano x,y∈(a,b) supponiamo x<y. Allora per il Teorema di Lagrange esiste z∈(x,y) tale per cui f(x)-f(y)=f'(z)(x-y) da cui f(x)-f(y)≤c(x-y)≤c|x-y|. Scambiando il ruolo di x e y si ha la tesi.<\/p>\n

Osservazione<\/em>. In genere non è facile determinare esattamente la costante di Lipschitz di una funzione lipschitziana, mentre il test fornito dalla Proposizione 1 consente facilmente di capire se una funzione regolare è lipschitziana.<\/p>\n

La lipschitzianità è una proprietà che dipende poco dal dominio della funzione data; vi è invece una condizione più debole della lipschitzianità, detta uniforme continuità<\/em>, che però dipende fortemente, in un certo senso come vedremo, dall’insieme di definizione della funzione stessa.<\/p>\n

Definizione<\/em>. Sia I un intervallo in R<\/strong>, eventualmente illimitato. Una funzione f : I → R <\/strong>si dice uniformemente continua<\/em> se per ogni x,y∈I e per ogni ε>0 esiste δ>0 tale per cui si abbia<\/p>\n

|x-y|<δ ⇒ |f(x)-f(y)|≤ε.     (2)<\/p>\n

Si faccia bene attenzione alla differenza tra la nozione di continuità e la nozione di uniforme continuità: nella definizione di uniforme continuità si richiede infatti che δ non dipenda dalla scelta di x e y, come invece può accadere nel caso della sola continuità.<\/p>\n

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