{"id":3141,"date":"2010-05-08T00:00:00","date_gmt":"2010-05-07T22:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"3141","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/3141\/","title":{"rendered":"Vorrei sapere che relazione c’\u00e8 tra convergenza e limitatezza per quanto riguarda le successioni. Se una successione a_n converge ad un numero reale positivo, non si pu\u00f2 affermare in generale che tutti i termini della successione a_n sono positivi. Magari con un esempio se possibile."},"content":{"rendered":"

<\/p>\n

Una successione reale è una generica funzione x : N → R<\/strong>. Il numero reale x(n) viene anche denotato con xn<\/sub> per pura convenienza. Una successione reale x si dice convergente<\/em> se esiste ed è finito<\/p>\n

L=limn → +∞<\/sub> xn<\/sub><\/p>\n

ovvero se esiste (e si dimostra anche essere unico) L ∈ R <\/strong>tale per cui valga:<\/p>\n

∀ ε>0 ∃ m ∈ N <\/strong>: ∀n>m si ha |xn<\/sub>-L|<ε.       (1)<\/p>\n

Esempio. <\/strong>Sia x la successione data da xn<\/sub>=1\/n; allora si verifica facilmente che limn → +∞<\/sub>xn<\/sub>=0. <\/p>\n

Osservazione 1.<\/strong> Sia x una successione reale convergente ad L>0. Allora esiste m ∈ N<\/strong> tale che per ogni n>m si ha xn<\/sub>>0; analogamente se x è una successione reale convergente ad L<0 allora esiste m ∈ N<\/strong> tale che per ogni n>m si ha xn<\/sub><0. Supponiamo ad esempio che la successione x converga ad L>0; allora se scegliamo ε<L\/2 nella (1) si ha che esiste m ∈ N<\/strong> tale che per ogni n>m si ha |xn<\/sub>-L|<L\/2; in particolare per ogni n>m si ha xn<\/sub>>L-L\/2=L\/2>0. La successione x potrebbe anche avere termini di segno negativo prima di stabilizzarsi strettamente positiva: ad esempio la successione reala x data da xn<\/sub>=-1 per ogni n≤10 e da xn<\/sub>=1 per ogni n>10 converge a 1 ma non è interamente a termini positivi.<\/p>\n

Una successione reale x si dice invece limitata<\/em> se esiste C ∈ R <\/strong>tale per cui si ha |xn<\/sub>| ≤ C per ogni n ∈ N<\/strong>.<\/p>\n

Osservazione 2. <\/strong>Una classe importante di successioni convergenti è costituita dalle successioni monotone e limitate; se x è una successione reale non-decrescente e limitata allora si verifica facilmente che x converge a sup{xn <\/sub>: n ∈ N<\/strong>} mentre se y <\/strong>è una successione reale non-crescente e limitata allora si verifica facilmente che y converge a inf{yn <\/sub>: n ∈ N<\/strong>}.<\/p>\n

Un primo legame tra convergenza e limitatezza è fornito dal seguente risultato elementare.<\/p>\n

Proposizione. <\/strong>Sia x una successione reale convergente. Allora x è limitata. <\/em><\/p>\n

Dimostrazione.<\/u> Supponiamo che la successione x converga a L. Scriviamo la condizione (1) con la scelta ε=1. Esiste quindi m ∈ N <\/strong>tale che ∀n>m si ha |xn<\/sub>-L|<1, ovvero per ogni n>m si ha L-1<xn<\/sub><L+1. Sia dunque C=max{x1<\/sub>,…,xm<\/sub>,|L-1|,|L+1|}. Si ha allora |xn<\/sub>|≤C per ogni n ∈ N<\/strong>.<\/p>\n

Il viceversa della Proposizione precedente in generale è falso; ad esempio la successione reale x definita da xn<\/sub>=(-1)n<\/sup> è una successione limitata in quanto |xn<\/sub><\/strong>|≤1 per ogni n ∈ N<\/strong>, ma non è una successione convergente, dal momento che, intuitivamente, xn<\/sub><\/strong> oscilla tra -1 ed 1 e non tende a stabilizzarsi verso un certo valore reale L. Vale però una sorta di viceversa della Proposizione dimostrata, ed è il risultato più importante della teoria delle successioni reali. Per una corretta enunciazione e dimostrazione va però detto cosa si intende per sottosuccessione<\/em>.<\/p>\n

Sia x una successione reale. Diciamo che y : N <\/strong>→ R<\/strong> è una sottosuccessione (o un’estratta) di x se esiste una funzione ν : N → N<\/strong> strettamente crescente tale per cui si ha yn<\/sub>=xν(n)<\/sub> per ogni n ∈ N<\/strong>. Intuitivamente una sottosuccessione di x è una successione che "seleziona" degli elementi di x, infiniti ed ottenuti per valori tutti distinti di n.<\/p>\n

Osservazione 3. <\/strong>Se una successione reale x è convergente a L allora ogni sua sottosuccessione è convergente allo stesso limite L; tale fatto è una banale applicazione del Teorema di composizione per i limiti. Osserviamo che questo permette di dimostrare rigorosamente che la successione xn<\/sub>=(-1)n<\/sup> non converge: infatti se per assurdo xn<\/sub> convergesse verso L allora ogni sua estratta avrebbe lo stesso limite L; ma le due estratte corrispondenti alle scelte ν(n)=2n e ν(n)=2n+1 convergono, rispettivamente, a 1 e a -1. In forza di quanto osservato la successione di termine generale (-1)n<\/sup> non può quindi convergere.<\/p>\n

Veniamo quindi al risultato fondamentale.<\/p>\n

Teorema (Bolzano-Weierstrass). <\/strong>Sia x una successione reale limitata. Allora x ammette almeno una sottosuccessione convergente.<\/em><\/p>\n

Dimostrazione.<\/u> La dimostrazione del Teorema di Bolzano-Weierstrass non è semplice, ma costruttiva. Denotiamo con I l’insieme dei termini xn<\/sub>, ovvero I={xn<\/sub> : n ∈ N<\/strong>}. Distinguiamo due casi, a seconda che I sia un insieme finito o no.<\/p>\n

1) Caso I insieme finito<\/em>. In tal caso dal momento che N <\/strong>non è un insieme finito devono esistere L ∈ R <\/strong>tale per cui si ha xn<\/sub>=L per infiniti indici n. Ne segue che la sottosuccessione che seleziona esattamente quegli indici converge a L.<\/p>\n

2) Caso I insieme infinito. <\/em>Dal momento che la successione x è limitata, esiste un intervallo [α,β] tale per cui si ha I ⊆ [α,β]. Consideriamo il punto medio mα,β<\/sub>tra α e β; allora uno tra i due insiemi I ∩ [α,mα,β<\/sub>] e I ∩ [mα,β<\/sub>,β] deve essere ancora infinito, altrimenti I sarebbe finito e si ricadrebbe nel caso 1). Scegliamo quindi, tra [α,mα,β<\/sub>] e [mα,β<\/sub>,β] quello che contiene ancora infiniti elementi di I, e denotiamo esso con I1<\/sub>. Dividendo ancora in due intervalli uguali I1<\/sub> per le stesse ragioni di prima esiste un intervallo I2<\/sub> ⊆ I1<\/sub> che contiene ancora infiniti elementi di I. Procedendo per ricorsione si trova una successione di intervalli In<\/sub> con I1<\/sub> ⊇ I2<\/sub> ⊇ I3<\/sub> ⊇…⊇ In<\/sub> ⊇.. della forma In<\/sub>=[αn<\/sub>,βn<\/sub>], con<\/p>\n

βn<\/sub>-αn<\/sub> ≤ (β-α)\/2n<\/sup>        (2)<\/p>\n

ognuno dei quali contiene infiniti elementi di I. Ma allora le due successioni reali di termine generale αn<\/sub> e βn<\/sub> sono monotone e limitate: si ha che la successione di termine generale αn<\/sub> è non-decrescente mentre la successione di termine generale  βn<\/sub> è non-crescente. In forza della (2) la due successioni <\/sub>α e β devono convergere (Osservazione 2) allo stesso limite L ∈ R<\/strong>. Basta ora selezionare in modo opportuno la sottosuccessione estratta da x che converge ad L. Sia xn1<\/sub> il primo termine della successione x che cade in I1<\/sub>; sia xn2<\/sub> il primo termine della successione x che cade in I2<\/sub> e con n2>n1. Così facendo per ricorsione si trova un’estratta xnk<\/sub> tale per cui si ha |xnk<\/sub>-L|≤βnk<\/sub>-αnk<\/sub>≤(β-α)\/2nk<\/sup>. Ne segue che la sottosuccessione xnk<\/sub> converge a L per k → +∞, e ciò conclude la dimostrazione.<\/p>\n

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