{"id":3139,"date":"2010-05-08T00:00:00","date_gmt":"2010-05-07T22:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"3139","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/3139\/","title":{"rendered":"Data l’equazione canonica della parabola y=ax^2+bx+c, vorrei sapere il significato di a,b,c al loro variare, singolarmente, e in particolare, quando fermi b e c, a diventa 0 oppure infinito."},"content":{"rendered":"
<\/p>\n

Il grafico della funzione y=ax2<\/sup>+bx+c, con x ∈ R<\/strong> e a ≠ 0, è rappresentato da una generica parabola con asse di simmetria parallelo all’asse y. In particolare tale parabola ha:<\/p>\n

– asse di simmetria di equazione x=-b\/2a<\/p>\n

– vertice nel punto V=(-b\/2a,-∆\/4a)<\/p>\n

– fuoco nel punto F=(-b\/2a,(1-∆)\/4a)<\/p>\n

essendo ∆=b2<\/sup>-4ac. Analizziamo singolarmente il variare di a,b,c, tenendo man mano fermi due parametri e solo uno variabile.<\/p>\n

1) Il caso più facile è rappresentato dal caso c variabile, a e b fissati. Infatti in tal caso otteniamo una famiglia di parabole con lo stesso asse di simmetria, con vertice variabile sull’asse di simmetria e con fuoco pure variabile sullo stesso asse.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

2) Trattiamo il caso in cui sia b variabile e i parametri a,c siano fissati. In tal caso la famiglia di parabole di equazioni y=ax2<\/sup>+bx+c rappresenta una famiglia di parabole che passano tutte per uno stesso punto appartenente all’asse y. Infatti consideriamo due parabole distinte di equazioni rispettive y=ax2<\/sup>+b1<\/sub>x+c e y=ax2<\/sup>+b2<\/sub>x+c; allora il punto di interesezione tra esse si ottiene mettendo in sistema le due equazioni date, sistema che porta a ax2<\/sup>+b1<\/sub>x+c=ax2<\/sup>+b2<\/sub>x+c, ovvero x=0, dal momento che b1<\/sub> ≠ b2<\/sub>. Dunque il punto di intersezione tra le due parabole date ha coordinate (0,c); ma tale punto appartiene ad ogni parabola di equazione y=ax2<\/sup>+bx+c con a,c fissati e b variabile, e quindi tutte le parabole così fatte passano per il punto (0,c). Tali parabole inoltre hanno tutte la stessa "apertura", come la seguente figura illustra.<\/p>\n

\"\"<\/font><\/font><\/font><\/font><\/font><\/font><\/p>\n

3) Infine trattiamo il caso in cui sia a variabile, con b e c fissati. Per avere l’equazione di una parabola, come detto all’inizio, deve essere necessariamente a ≠ 0; nel caso in cui si abbia a=0 l’equazione diventa y=bx+c la quale rappresenta una generica retta nel piano, non verticale. Nel caso in cui a possa dunque variare in R<\/strong> – {0} si ottiene una famiglia di parabole che passano tutte per il punto (0,c) (dimostrazione analoga al caso 2), che possono anche cambiare concavità e che diventano sempre più ripide man mano che |a| cresce; in tal caso, a differenza del punto precedente, le parabole quindi diminuiscono la loro apertura se |a| assume valori grandi.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Quando a → +∞ osserviamo che l’asse di simmetria tende ad avere equazione x=0, ovvero tende a essere l’asse y; inoltre il vertice che ha coordinate (-b\/2a,-∆\/4a) tende al punto di coordinate (0,c), dal momento che<\/p>\n

lima → +∞<\/sub>-∆\/4a=lima → +∞<\/sub>(4ac-b2<\/sup>)\/4a=c.<\/p>\n

L’apertura della parabola infine diviene sempre più sottile, per cui per a → +∞ la parabola di equazione y=ax2<\/sup>+bx+c, con b,c fissati, tende a coincidere con la semiretta (c,+∞) giacente sull’asse y. Un discorso analogo si può fare nel caso a → -∞.<\/p>\n

<\/font><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

[…]<\/p>\n","protected":false},"author":228,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[69],"tags":[],"class_list":["post-3139","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-geometria"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3139","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/users\/228"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=3139"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3139\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=3139"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=3139"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=3139"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}