{"id":3138,"date":"2010-05-08T00:00:00","date_gmt":"2010-05-07T22:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"3138","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/3138\/","title":{"rendered":"Vorrei sapere che relazione esiste tra i gruppi di simmetria, le permutazioni e l’esistenza di una formula risolutrice dell’equazione di grado n (le cui soluzioni sono legate ai coefficienti dell’equazione stessa). Se possibile mi piacerebbe capire perch\u00e9 se il gruppo di permutazione non \u00e8 divisibile allora questa formula non pu\u00f2 esistere."},"content":{"rendered":"
<\/p>\n

La teoria di Galois è una delle più belle teorie matematiche che esistano; una delle applicazioni principali della teoria stessa è la risolubilità per radicali di un’equazione algebrica. In realtà già Abel e Ruffini a fine Settecento e nei primi dell’Ottocento, quindi prima di Galois, dimostrarono che la generica equazione algebrica di grado maggiore o uguale a 5 non è risolubile per radicali. La teoria di Galois permette di caratterizzare quali equazioni sono o no risolubili per radicali: l’equazione x5<\/sup>-1=0 è di quinto grado, ma è risolubile per radicali; il Teorema di Abel-Ruffini invece non dice nulla al riguardo.<\/p>\n

La definizione capitale riguardo alla teoria della risolubilità delle equazioni algebriche è la seguente.<\/p>\n

Definizione. <\/strong>Sia dato un campo K<\/strong> di caratteristica zero. L’equazione algebrica f(x)=0 è risolubile per radicali<\/em> se esiste un’estensione M del campo di spezzamento S di f su K<\/strong> tale che:<\/p>\n

A) M:K<\/strong> è un’estensione di Galois;<\/p>\n

B) esistono a1<\/sub>… am<\/sub> appartenenti a M e n1<\/sub>…. nm<\/sub> appartenenti a N<\/strong> tali per cui M=K<\/strong>(a1<\/sub>,…,am<\/sub>),<\/p>\n

a1<\/sub>n1<\/sub><\/sup> ∈ K<\/strong>, a2<\/sub>n2<\/sub><\/sup> ∈ K<\/strong>(a1<\/sub>), … , am<\/sub>nm<\/sub><\/sup> ∈ K<\/strong>(a1<\/sub>,…,am-1<\/sub>).<\/p>\n

 <\/p>\n

Vediamo di capire cosa sta dicendo tale definizione.<\/p>\n

Caso m=1). M=K<\/strong>(a1<\/sub>) e a1<\/sub>n1<\/sub><\/sup> =k ∈ K<\/strong>. Se a è una radice di f(x)=0 allora anzitutto a ∈ <\/strong>M; scriviamo poi a1<\/sub>=k1\/n1<\/sub><\/sup>. Ne segue che<\/p>\n

a=k0<\/sub>+k1<\/sub>k1\/n1<\/sub><\/sup>+…+kt<\/sub>(k1\/n1<\/sub><\/sup>)t<\/sup>       (1)<\/p>\n

per un certo t intero. La formula (1) fornisce la radice a per radicali.<\/p>\n

Caso m=2). M=K<\/strong>(a1<\/sub>,a2<\/sub>) e a2<\/sub>n2<\/sub><\/sup> =h0<\/sub>+h1<\/sub>k1\/n1<\/sub><\/sup>+…+hs<\/sub>(k1\/n1<\/sub><\/sup>)s<\/sup> per un certo intero s e un certo k ∈ K<\/strong>. Allora come prima se a è una radice di f(x)=0 allora a si può scrivere come <\/p>\n

a=[h0<\/sub>+h1<\/sub>k1\/n1<\/sub><\/sup>+…+hs<\/sub>(k1\/n1<\/sub><\/sup>)s<\/sup>]1\/n2<\/sub><\/sup>     (2)<\/p>\n

la quale fornisce ancora una formula per radicali.<\/p>\n

 <\/p>\n

Il Teorema chiave a cui si arriva caratterizza la risolubilità per radicali di un’equazione algebrica f(x)=0, definita come sopra, in condizioni puramente algebriche sul gruppo di Galois dell’equazione stessa. Premettiamo la seguente definizione.<\/p>\n

Definizione. <\/strong>Sia G <\/strong>un gruppo finito; si dice che G <\/strong>è risolubile<\/em> se esiste una catena di sottogruppi<\/p>\n

G<\/strong>0<\/sub>={1G<\/sub><\/strong>}<G<\/strong>1<\/sub><…<G<\/strong>k<\/sub>=G<\/strong><\/p>\n

tale che G<\/strong>i<\/sub> è normale in G<\/strong>i+1<\/sub> e il quoziente G<\/strong>i+1<\/sub>\/G<\/strong>i<\/sub> è abeliano.<\/p>\n

Se l’equazione algebrica f(x)=0 è risolubile per radicali allora il gruppo GalK<\/sub><\/strong>(f(x)) è un gruppo risolubile (e vale anche il viceversa). L’idea della dimostrazione sta nella seguente costruzione:<\/p>\n

K<\/strong> < K<\/strong>(e) < K<\/strong>(a1<\/sub>,e) < … < K<\/strong>(a1<\/sub>,…,am<\/sub>,e)=M(e)<\/p>\n

essendo e una radice primitiva p-esima dell’unità, con p=m.c.m.(a1<\/sub>,…,am<\/sub>). Dallo studio di tale catena si mostra facilmente che GalK<\/sub><\/strong>(f(x)) è un gruppo risolubile.<\/p>\n

Conclusione:<\/strong> Essendo il gruppo di Galois GalK<\/sub><\/strong>(f(x)) dell’equazione generica di grado n pari al gruppo di permutazioni S<\/strong>n<\/sub> si ha che l’equazione generica di grado n è risolubile per radicali se e solo se S<\/strong>n<\/sub> è risolubile. Per n>4 il gruppo S<\/strong>n<\/sub> non è risolubile. Infatti il gruppo alterno A<\/strong>5<\/sub> è un gruppo semplice (non ha sottogruppi normali non banali) e non è abeliano; ne segue che A<\/strong>5<\/sub> non è risolubile e dunque nemmeno S<\/strong>n <\/sub>per ogni n>4, altrimenti tutti i sottogruppi di S<\/strong>5<\/sub> sarebbero risolubili.<\/p>\n

<\/font><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

[…]<\/p>\n","protected":false},"author":228,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[65],"tags":[],"class_list":["post-3138","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-algebra"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3138","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/users\/228"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=3138"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3138\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=3138"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=3138"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=3138"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}