La dimostrazione originale che si può trovare su ogni testo di Geometria per la scuola media superiore richiede parecchi strumenti; ci limiteremo a fornire i passi essenziali e lasceremo i dettagli al lettore. Forniremo invece anche una dimostrazione completa che fa uso di una matematica più sofisticata.<\/p>\n
Dimostrazione geometrica<\/em>. Per definire la lunghezza di una circonferenza di raggio R fissato occorre considerare i poligoni regolari inscritti e circoscritti alla circonferenza data. Infatti la lunghezza della circonferenza viene vista come limite dei perimetri dei poligoni regolari inscritti o circoscritti. Più precisamente si osserva che:<\/p>\n 1) il perimetro di un generico poligono regolare inscritto nella circonferenza data è sempre minore del perimetro di un generico poligono regolare circoscritto alla circonferenza data;<\/p>\n 2) per ogni numero reale positivo ε esiste una suddivisione della circonferenza in n parti uguali tale per cui se pi<\/sub> e pc<\/sub> indicano, rispettivamente, i perimetri dei poligoni regolari di n lati inscritti e circoscritti alla circonferenza, allora si ha<\/p>\n pc<\/sub> – p i<\/sub> < ε.<\/p>\n Dalle condizioni 1) e 2) si deduce che è ben definito un unico numero reale positivo c, che dipende da R, che è maggiore di tutti i perimetri pi<\/sub> dei poligoni inscritti e minore di tutti i perimetri pc<\/sub> poligoni circoscritti. Tale numero reale c, per definizione, è la lunghezza della circonferenza data di raggio R.<\/p>\n Andiamo ora a verificare che il rapporto tra c e il diametro 2R è una costante. A tale scopo consideriamo due circonferenze C e C’ di raggi R ed R’ e dimostriamo allora che c’ : c = R’ : R. Consideriamo i due poligoni regolari di n lati inscritti in C e C’, e siano pi<\/sub> e pi<\/sub>‘ rispettivamente i loro perimetri. I due poligoni risultano ovviamente simili (basta cosiderare C e C’ concentriche), da cui si ha<\/p>\n pi<\/sub>‘ : pi<\/sub> = R’ : R.<\/p>\n Una proporzione di similitudine analoga si ha anche per i perimetri dei due poligoni circoscritti di n lati: risulta<\/p>\n pc<\/sub>‘ : pc<\/sub> = R’ : R.<\/p>\n Dal momento che pi<\/sub> < c < pc<\/sub> si ha anche pi<\/sub> R’ : R < c R’ : R < pc<\/sub> R’ : R, ovvero pi<\/sub>‘ < c R’ : R < pc<\/sub>‘. Ma si ha anche pi<\/sub>‘ < c’ < pc<\/sub>‘. Tali disuguaglianze valgono per ogni poligono inscritto e circoscritto. Dal momento che l’elemento separatore che definisce la lunghezza della circonferenza è unico deve essere necessariamente<\/p>\n c R’ : R = c’<\/p>\n da cui finalmente c’ : c = R’ : R.<\/p>\n Conseguenza immediata di tutto ciò è che il rapporto tra c e 2R è una costante che non dipende dalla circonferenza considerata; tale costante si denota con π e vale circa 3.14. Il valore 3.14 è un valore approssimato; si dimostra che il numero reale π è un numero irrazionale anzitutto e trascendente poi, ovvero non è soluzione di nessuna equazione algebrica a coefficienti interi (Lindemann, 1882).<\/p>\n <\/p>\n Dimostrazione analitica.<\/em> Sia data la funzione f : [0,R] → R<\/strong> definita da f(x)=√(R2 <\/sup>– x2<\/sup>). Allora il grafico di f rappresenta un quarto di circonferenza. Dal momento che la funzione f è di classe C1<\/sup>(0,R) la lunghezza del suo grafico si trova mediante la nota formula<\/p>\n L=∫<\/font>[0,R]<\/sub>√(1 + |Df(x)|2<\/sup>) dx.<\/p>\n Essendo Df = -x \/ √(R2<\/sup> – x2<\/sup>) si ha √(1 + |Df(x)|2<\/sup>) = R \/ √(R2<\/sup> – x2<\/sup>). Ponendo x=Rt si ha<\/p>\n L= R ∫<\/font>[0,1]<\/sub>1 \/ √(1 – t2<\/sup>) dt.<\/p>\n La lunghezza della circonferenza di raggio R sarà dunque data da<\/p>\n c = 4R ∫<\/font>[0,1]<\/sub>1 \/ √(1 – t2<\/sup>) dt<\/p>\n e dunque è multipla del raggio R, mediante un certo fattore numerico, il che prova anche in modo analitico quanto già dimostrato in modo geometrico.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" […]<\/p>\n","protected":false},"author":228,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[69],"tags":[],"class_list":["post-3124","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-geometria"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3124","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/users\/228"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=3124"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3124\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=3124"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=3124"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=3124"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}