{"id":311,"date":"2003-04-28T00:00:00","date_gmt":"2003-04-27T22:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"311","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/311\/","title":{"rendered":"Che differenza c’\u00e8 tra radice aritmetica, radice algebrica e radice complessa?"},"content":{"rendered":"

Per capire come rispondere a questa domanda
\n bisogna prima di tutto capire da dove nasce il problema dell’estrazione
\n di radice e, quindi, qual \u00e8 l’uso al quale sono destinati i
\n radicali. <\/font><\/p>\n

<\/font><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Da un primo punto
\n di vista, i radicali nascono da un problema di “inversione”
\n dell’operazione di elevamento a potenza. Infatti, cos\u00ec come la
\n sottrazione \u00e8 l’operazione inversa dell’addizione e la
\n divisione \u00e8 l’operazione inversa della moltiplicazione, si vuole
\n cercare un’operazione che, noti il risultato e l’esponente di un
\n elevamento, ci restituisca la base (si noti che in effetti questa
\n \u00e8 la soluzione a soltanto met\u00e0<\/i> del problema di
\n inversione dell’elevamento a potenza, perch\u00e9 serve anche
\n un’operazione che, noti il risultato e la base, ci restituisca
\n l’esponente: tale operazione \u00e8 detta logaritmo<\/i>). Da
\n questo punto di vista, la “radice quarta di 81” \u00e8 la base che
\n occorre dare all’esponente 4 per ottenere 81. <\/font><\/p>\n

<\/font><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Un altro modo in
\n cui ci si imbatte nei radicali \u00e8 il problema della soluzione di
\n un’equazione polinomiale: si ricordi che, in effetti, le soluzioni di
\n una tale equazione sono propriamente dette radici<\/i> dell’equazione
\n stessa. Cos\u00ec, da questo punto di vista, la radice quarta di 81
\n potrebbe essere definita come una qualsiasi soluzione dell’equazione
\n x<\/i>4<\/sup>\u00a0–\u00a081\u00a0=\u00a00. <\/font><\/p>\n

<\/font><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Apparentemente non
\n c’\u00e8 differenza tra i due punti di vista. In effetti \u00e8 vero
\n sia che (-3)4<\/sup>\u00a0=\u00a081 (cio\u00e8 che -3 \u00e8 una
\n possibile base da assegnare all’esponente 4 per ottenere 81) sia che il
\n numero -3 \u00e8 soluzione dell’equazione
\n x<\/i>4<\/sup>\u00a0–\u00a081\u00a0=\u00a00. Il problema sta
\n per\u00f2 nel fatto che, secondo il primo punto di vista, si vuole
\n ottenere un’operazione<\/i> inversa all’elevamento a potenza: le
\n operazioni, per essere tali, devono avere un solo
\n risultato, unico e ben preciso. Per questo si decide che la
\n scrittura \"\"\/ abbia
\n significato solo nell’insieme dei numeri reali (o un suo sottoinsieme, ma
\n insomma non nell’insieme dei numeri complessi) e che ad essa si debba
\n associare un solo<\/i> numero x<\/i>. Secondo l’uso comune, vanno
\n a questo punto distinti due casi: se b<\/i> \u00e8 un numero intero
\n e dispari, x<\/i> \u00e8 l’unico numero reale tale che
\n xb<\/sup><\/i>\u00a0=\u00a0a<\/i>; se invece b<\/i> \u00e8
\n un qualsiasi altro numero reale (in particolare, se \u00e8 un numero
\n intero e pari), x<\/i> \u00e8 l’unico numero reale positivo<\/i>
\n (se esiste) tale che xb<\/sup><\/i>\u00a0=\u00a0a<\/i>.
\n Secondo questa definizione, allora, \"\"\/ e da qui nasce la famosa identit\u00e0 \"\"\/. <\/font><\/p>\n

<\/font><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Va detto a questo
\n punto che altri autori danno un’interpretazione pi\u00f9 rigida e
\n affermano che la radice possa essere definita soltanto nel caso in cui
\n il risultato dell’elevamento a potenza \u00e8 positivo: insomma, mentre
\n secondo la definizione del liceo si ha \"\"\/\u00a0=\u00a0-3, secondo questi ultimi la scrittura \"\"\/ \u00e8 priva di
\n significato. Questa posizione pu\u00f2 sembrare inutilmente formale a
\n prima vista, ma \u00e8 indispensabile quando si vuole applicare alle
\n radici le propriet\u00e0 delle potenze e identificarle a loro volta con
\n un elevamento a potenza: insomma, la richiesta di definire le radici solo
\n con argomento positivo \u00e8 indispensabile se si vuole poter dire che
\n \"\"\/ perch\u00e9 \"\"\/. Se cos\u00ec non si
\n facesse, infatti, si otterrebbe la paradossale situazione in cui non si
\n saprebbe che significato dare a un’espressione come \"\"\/. Da un lato, infatti, \"\"\/ e si sarebbe quindi
\n tentati di concludere che \"\"\/. Dall’altro, per\u00f2
\n 1\u00a0\/\u00a03\u00a0=\u00a02\u00a0\/\u00a06; a seconda dell’ordine nel quale si
\n effettuano l’elevamento a potenza e l’estrazione di radice, allora, si
\n conclude che \"\"\/ oppure
\n che \"\"\/ non ha
\n significato. <\/font><\/p>\n

<\/font><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0Nei numeri
\n complessi il discorso cambia completamente, perch\u00e8 l’elevamento
\n a potenza presenta fenomeni molto diversi da quelli che accadono nei
\n numeri reali. Nei numeri complessi non \u00e8 possibile definire una
\n relazione di ordine che rispetti le operazioni e, quindi, si perde il
\n concetto di numero positivo; giusto per dirne una, poi, la funzione
\n esponenziale ez<\/i><\/sup> \u00e8 periodica<\/i>! In
\n questo insieme non \u00e8 perci\u00f2 possibile definire la radice
\n come operazione: si conviene quindi di non usare pi\u00f9 la
\n scrittura \"\"\/ e di
\n parlare per ogni numero naturale n<\/i> delle<\/i> radici
\n n<\/i>-esime di un numero complesso z<\/i>
\n come l’insieme di tutti<\/i> i numeri complessi che elevati alla
\n n<\/i>-esima potenza danno il numero z<\/i>. Si pu\u00f2 anche
\n dimostrare che le radici n<\/i>-esime distinte di qualsiasi numero
\n diverso da zero sono sempre n<\/i>, ma probabilmente la questione si
\n fa un po’ troppo tecnica per questa risposta; accontentiamoci in questa
\n sede di dire che nei numeri complessi l’insieme delle radici quadrate
\n di 4 \u00e8 effettivamente {-2,\u00a02} e che, per esempio, l’insieme
\n delle radici quarte di 81 \u00e8 {3,\u00a03i,\u00a0-3,\u00a0-3i}. <\/font><\/p>\n

<\/font><\/p>\n

\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0La domanda fa
\n anche riferimento alla distinzione tra “radicali algebrici” e
\n “radicali aritmetici”. In effetti, alcuni autori chiamano radicali
\n aritmetici<\/i> quelli che derivano dal problema di inversione
\n dell’elevamento a potenza (cio\u00e8, il radicale aritmetico \u00e8
\n quello che d\u00e0 alla scrittura \"\"\/ uno e un solo risultato) e radicali
\n algebrici<\/i> quelli che derivano dal problema di risoluzione delle
\n equazioni polinomiali (quindi il radicale algebrico \"\"\/ rappresenta l’intero insieme di
\n tutti<\/i> i numeri x<\/i> tali che
\n xb<\/sup><\/i>\u00a0=\u00a0a<\/i>). Va detto che si sta in
\n effetti cercando di fare scomparire questa distinzione, se non altro
\n perch\u00e9 il fatto di associare due significati diversi a uno stesso
\n simbolo \u00e8 inutilmente fuorviante.<\/p>\n

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