{"id":3089,"date":"2012-01-09T00:00:00","date_gmt":"2012-01-08T23:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"3089","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/3089\/","title":{"rendered":"Salve,che caratteristiche deve avere una funzione per essere di autocorrelazione ?\r\ne che caratteristiche deve avere una funzione di autocorrelazione per rappresentare un processo PAM qualsiasi?\r\nGrazie"},"content":{"rendered":"

Il concetto di correlazione è uno dei più profondi nella statistica. Può essere definito per coppie di variabili aleatorie<\/a> (1<\/sup>) X1<\/sub>, X2<\/sub><\/p>\n

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dove p(x1<\/sub>,x2<\/sub>) è la funzione densità di probabilità congiunta, e rappresenta il legame tra i valori assunti in media da una variabile e i valori dell’altra. Riporto i diagrammi di scattering di sei coppie di variabili aleatorie presi dal libro di Alessandro Falaschi, disponibile in rete con licenza Creative Commons al link http:\/\/infocom.uniroma1.it\/alef\/libro<\/a><\/p>\n

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Nel diagramma in alto a sinistra i valori di x2<\/sub> sono perfettamente legati a quelli di x1<\/sub>, perciò si ha correlazione unitaria, mentre in quello in alto a destra, fissato un qualunque valore di x1<\/sub> l’altra variabile può assumere valori in un intervallo con media nulla. Particolarmente interessante è il caso delle due variabili del diagramma in basso a destra: qui, fissato un valore ad esempio di x1<\/sub>, l’altra variabile può assumere due valori, opposti, la cui media è di nuovo zero; questo è un esempio in cui si ha correlazione nulla pur con due variabili dipendenti (2<\/sup>) l’una dall’altra, si ha infatti  x1<\/sub>2<\/sup>+ x2<\/sub>2<\/sup> = cost.<\/p>\n

La correlazione assume un significato ancora più generale quando si considerano due v.a. estratte da un processo aleatorio (3<\/sup>): R in questo caso dipende dai due istanti t1<\/sub> e t2<\/sub>, ed è legata alle proprietà spettrali del processo, (teorema di Wiener).<\/p>\n

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Nel caso in cui il processo sia stazionario la funzione di correlazione dipende solo dalla differenza tra gli istanti di tempo τ = t2<\/sub>-t1<\/sub>.<\/p>\n

La funzione di autocorrelazione è esprimibile anche per segnali deterministici.<\/p>\n

Veniamo ora alla prima domanda, da quanto detto è facile dimostrare le seguenti proprietà: per i segnali limitati nel tempo la funzione di autocorrelazione è ancora limitata nel tempo, e di durata doppia. Per i segnali periodici anche la funzione di autocorrelazione è periodica. In ogni caso la funzione di autocorrelazione ha un massimo in τ=0, ed è simmetrica rispetto all’asse y.<\/p>\n

Nel caso di un processo Pulse Amplitude Modulation (PAM) (4<\/sup>), in cui viene codificata una sequenza numerica z(n) sull’ampiezza di un treno di impulsi, la funzione di autocorrelazione è la convoluzione della funzione di autocorrelazione del segnale numerico RZ<\/sub>(k) con l’autocorrelazione del singolo impulso Rp(τ)<\/p>\n

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Lo spettro è il prodotto degli spettri.<\/p>\n

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  1. \n
    per chi non ha molta dimestichezza con le variabili aleatorie, oltre alla definizione nelle prime righe della voce di Wiki, sono utili anche questa simpatica risposta di Gino Favero http:\/\/www.vialattea.net\/esperti\/php\/risposta.php?num=722<\/a> che approccia le variabili aleatorie dal punto di vista del risultato dei lanci ripetuti di una moneta, e questa risposta di Federico Angelini http:\/\/www.vialattea.net\/esperti\/php\/risposta.php?num=12294<\/a><\/div>\n<\/li>\n
  2. \n
    due v.a. si dicono indipendenti se la densità di probabilità congiunta è fattorizzabile nel prodotto delle densità di probabilità:  p(x1<\/sub>,x2<\/sub>) = p(x1<\/sub>) p(x2<\/sub>); due v.a. indipendenti sono necessariamente incorrelate, ma non vale in generale il viceversa. Se le v.a. sono Gaussiane vale anche il viceversa.<\/div>\n<\/li>\n
  3. \n
    si veda la risposta di Gianfranco Verbana che tratta della funzione di autocorrelazione, particolarmente approfondita per quanto riguarda i processi aleatori http:\/\/www.vialattea.net\/esperti\/php\/risposta.php?num=8788<\/a>; esempi di processi aleatori sono nella risposta http:\/\/www.vialattea.net\/esperti\/php\/risposta.php?num=11981<\/a><\/div>\n<\/li>\n
  4. \n
    si veda la ripsosta di Gianfranco Verbana sui processi PAM http:\/\/www.vialattea.net\/esperti\/php\/risposta.php?num=9107<\/a><\/div>\n<\/li>\n<\/ol>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

    […]<\/p>\n","protected":false},"author":155,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[64],"tags":[],"class_list":["post-3089","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-teoria-dei-segnali"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3089","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/users\/155"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=3089"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3089\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=3089"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=3089"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=3089"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}