{"id":3034,"date":"2008-04-28T00:00:00","date_gmt":"2008-04-27T22:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"3034","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/3034\/","title":{"rendered":"Sono uno studente di ingegneria meccanica e ho trovato non poche difficolt\u00e0 a capire come funzionano le coordinate cilindriche e soprattutto quelle sferiche di un vettore. Specialmente non riesco a capire come si fanno le derivate per poi trovare le velocit\u00e0 e le accelerazioni. Vi ringrazio."},"content":{"rendered":"

Innanzitutto ricordiamo la definizioni dei diversi sistemi di coordinate.<\/font><\/p>\n

Una volta fissato un sistema di riferimento ortogonale 3D nello spazio le coordinate cartesiane<\/em><\/strong> del punto P<\/strong><\/em><\/u> si ottengono semplicemente dalle proiezioni ortogonali su ciascun asse:<\/font><\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Le coordinate cilindriche<\/strong> conservano la coordinata z<\/strong><\/em> di quelle cartesiane ma sostituiscono le altre due con la coordinata r<\/strong><\/em>, che è la distanza tra la proiezione del punto P<\/u><\/em><\/strong> sul piano xy<\/strong><\/em> e l’origine, e la coordinata angolare θ<\/strong>, che è l’angolo formato tra il segmento che individua r<\/em><\/strong> e l’asse x<\/strong><\/em>:<\/font><\/p>\n

\"\"<\/p>\n

 <\/p>\n

Dalla definizione si ricavano facilmente le formule di passaggio con le coordinate cartesiane:<\/font><\/p>\n

x<\/em><\/strong>=r<\/strong><\/em> cos<\/em>θ<\/strong>, y<\/strong><\/em>=r<\/em><\/strong> sin<\/em>θ<\/strong><\/font><\/p>\n

e<\/font><\/p>\n

r<\/strong><\/em>=√(x<\/strong><\/em>2<\/sup>+y<\/strong><\/em>2<\/sup>), θ<\/strong>=arctan(y<\/strong><\/em>\/x<\/strong><\/em>) [+π se x<\/em><\/strong> è negativo].<\/font><\/p>\n

 Le coordinate sferiche<\/strong> abbandonano completamente quelle cartesiane, a fianco della coordinata angolare θ<\/strong>, identica a quella cilindrica, viene introdotta un’altra coordinata angolare φ<\/strong>, che è l’angolo formato tra il vettore posizione di P<\/u><\/strong><\/em> e l’asse z<\/strong><\/em>, inoltre compare ancora una coordinata indicata con r<\/strong><\/em>, ma stavolta è la distanza completa tra P<\/u><\/strong><\/em> e l’origine degli assi:<\/font><\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Anche in questo caso è facile calcolare le formule di passaggio alle coordinate cartesiane:<\/font><\/p>\n

 x<\/em><\/strong>=r<\/strong> sin<\/em>φ<\/strong> cos<\/em>θ<\/strong>, y<\/strong><\/em>=r <\/strong>sin<\/em>φ<\/strong> sin<\/em>θ<\/strong>, z<\/strong><\/em>=r<\/strong><\/em> cos<\/em>φ<\/strong><\/font><\/p>\n

e<\/font><\/p>\n

r<\/strong><\/em>=√(x<\/strong><\/em>2<\/sup>+y<\/strong><\/em>2<\/sup>+z<\/strong><\/em>2<\/sup>), θ<\/strong>=arctan<\/em>(y<\/strong><\/em>\/x<\/strong><\/em>) [+π se x<\/em><\/strong> è negativo], φ<\/strong>=arccos<\/em>[z\/√(x<\/strong><\/em>2<\/sup>+y<\/strong><\/em>2<\/sup>+z<\/strong><\/em>2<\/sup>)].<\/font><\/p>\n

Per poter eseguire le derivate rispetto al tempo del vettore posizione P<\/u><\/strong><\/em> è comodo considerarlo scomposto in maniera opportuna a seconda del insieme di coordinate che si utilizza. Nel caso delle coordinate cartesiane è comodo considerare il vettore P<\/strong><\/em><\/u> scritto così<\/font><\/p>\n

P<\/strong><\/em><\/u>=x<\/strong><\/em> E<\/u>x<\/sub><\/strong><\/em>+y<\/strong><\/em> E<\/u>y<\/sub><\/em><\/strong>+z E<\/u>z<\/sub><\/strong><\/em><\/font><\/p>\n

dove E<\/u>x<\/sub><\/strong><\/em>, E<\/u>y<\/sub><\/strong><\/em> ed E<\/u>z<\/sub><\/strong><\/em> sono i versori degli assi (cioè vettori di modulo 1 orientati esattamente come gli assi cui si riferiscono), le cui componenti sono E<\/u>x<\/sub><\/em><\/strong>=(1,0,0), E<\/em><\/u>y<\/em><\/sub><\/strong>=(0,1,0) ed E<\/u>z<\/sub><\/strong><\/em>=(0,0,1). Le derivate per ottenere velocità V<\/strong><\/em><\/u> e accelerazione A<\/strong><\/em><\/u> sono facili da eseguire, in quanto i tre versori sono costanti nel tempo<\/font><\/p>\n

V<\/strong><\/em><\/u>=P<\/u>‘<\/em><\/strong>=x’<\/strong><\/em> E<\/u>x<\/sub><\/strong><\/em>+y’<\/strong><\/em> E<\/u>y<\/sub><\/em><\/strong>+z’ E<\/u>z<\/sub><\/strong><\/em><\/font><\/p>\n

 A<\/u>=P<\/u>”=x” E<\/u>x<\/sub>+y” E<\/u>y<\/sub>+z” E<\/u>z<\/sub><\/em><\/strong><\/font><\/p>\n

da cui ricaviamo immediatamente che la velocità è un vettore le cui componenti cartesiane sono le derivate prime delle componenti cartesiane del vettore posizione rispetto al tempo e l’accelerazione è un vettore le cui componenti cartesiane sono le derivate seconde delle componenti cartesiane del vettore posizione rispetto al tempo.<\/font><\/p>\n

Nel caso delle coordinate cilindriche è comodo esprimere il vettore P nel modo seguente:<\/font><\/p>\n

P<\/u><\/strong><\/em>=r<\/strong><\/em> Θ<\/u>θ<\/sub><\/strong>+z<\/strong><\/em> E<\/u>z<\/sub><\/strong><\/em><\/font><\/p>\n

dove Θ<\/u>θ<\/sub><\/strong> è il versore della proiezione di P<\/strong><\/em><\/u> sul piano xy<\/strong><\/em>, con componenti Θ<\/u>θ<\/sub><\/strong>=(cos<\/em>θ<\/strong>,sin<\/em>θ<\/strong>,0). Procedendo alla derivata prima osserviamo che dei due versori solo E<\/u>z<\/sub><\/em><\/strong> è costante nel tempo, per cui la derivata del primo dei due addendi dovrà essere eseguita con la formula della derivata di un prodotto [(f g<\/em>)‘<\/strong>=f‘<\/strong> g+f g‘<\/strong><\/em>], per cui si ha<\/font><\/p>\n

V<\/strong><\/em><\/u>=P<\/u>‘<\/strong><\/em>=r’<\/strong><\/em> Θ<\/u>θ<\/sub><\/strong>+r<\/em><\/strong> Θ<\/u>θ<\/sub>‘<\/em><\/strong>+z’<\/strong><\/em> E<\/u>z<\/sub><\/strong><\/em><\/font><\/p>\n

ma Θ<\/u>θ<\/sub>‘<\/em><\/strong>=θ‘ <\/em><\/strong>(-sin<\/em>θ<\/strong>,cos<\/em>θ<\/strong>,0)=θ‘ <\/em>Θ<\/u>θ+<\/sub><\/strong>π\/2<\/sub>, quindi<\/font><\/p>\n

V<\/u><\/em><\/strong>=P<\/u>‘<\/strong><\/em>=r’<\/strong><\/em> Θ<\/u>θ<\/sub><\/strong>+r<\/em><\/strong> θ‘ <\/em>Θ<\/u>θ+<\/sub><\/strong>π\/2<\/sub>+z’<\/strong><\/em> E<\/u>z<\/sub><\/strong><\/em><\/font><\/p>\n

da cui si deduce che se l’unico movimento del vettore P<\/strong><\/em><\/u> è una rotazione intorno all’asse z<\/strong><\/em> allora la velocità sarà perpendicolare a P<\/strong><\/em><\/u> (in quanto l’unico termine non nullo di questa derivata sarebbe quello relativo al versore Θ<\/u>θ+<\/sub><\/strong>π\/2<\/sub>) che è ruotato di π\/2 rispetto a Θ<\/u>θ<\/sub><\/strong>. Passando alla derivata seconda, per avere l’accelerazione, otteniamo<\/font><\/p>\n

 A<\/u><\/em><\/strong>=P<\/u>”<\/strong><\/em>=r”<\/strong><\/em> Θ<\/u>θ<\/sub><\/strong>+2 r’<\/strong><\/em> θ‘ <\/em>Θ<\/u>θ+<\/sub><\/strong>π\/2<\/sub>+r<\/em><\/strong> (θ” <\/em>Θ<\/u>θ+<\/sub><\/strong>π\/2<\/sub>+θ‘ <\/em>Θ<\/u>θ+<\/sub><\/strong>π\/2<\/sub>‘<\/strong><\/em>)+z”<\/strong><\/em> E<\/u>z<\/sub><\/strong><\/em><\/font><\/p>\n

analogamente a prima Θ<\/u>θ+<\/sub><\/strong>π\/2<\/sub>‘<\/strong><\/em>=θ‘ <\/em>Θ<\/u>θ+<\/sub><\/strong>π<\/sub>=–<\/em>Θ<\/u>θ<\/sub><\/strong>, per cui<\/font><\/p>\n

A<\/u><\/em><\/strong>=P<\/u>”<\/strong><\/em>=r”<\/strong><\/em> Θ<\/u>θ<\/sub><\/strong>+2 r’<\/strong><\/em> θ‘ <\/em>Θ<\/u>θ+<\/sub><\/strong>π\/2<\/sub>+r<\/em><\/strong> (θ” <\/em>Θ<\/u>θ+<\/sub><\/strong>π\/2<\/sub>–<\/em>θ‘<\/em><\/strong>2<\/sup> <\/em>Θ<\/u>θ<\/sub><\/strong>)+z”<\/strong><\/em> E<\/u>z<\/sub><\/strong><\/em>.<\/font><\/p>\n

 Analogamente a prima, nel caso di sola rotazione intorno all’asse z<\/strong><\/em> l’accelerazione risulterà essere un vettore diretto istante per istante verso l’asse di rotazione.<\/font><\/p>\n

Nel caso delle coordinate sferiche è opportuno rappresentare P<\/u><\/strong><\/em> nella forma<\/font><\/p>\n

P<\/u><\/em><\/strong>=r<\/strong><\/em> Ω<\/u>θ,φ<\/sub><\/strong><\/font><\/p>\n

dove Ω<\/u>θ,φ<\/sub><\/strong> è il versore di P<\/strong><\/em><\/u> e quindi Ω<\/u>θ,φ<\/sub><\/strong>=(sin<\/em>φ<\/strong> cos<\/em>θ<\/strong>,sin<\/em>φ<\/strong> sin<\/em>θ<\/strong>,cos<\/em>φ<\/strong>). Procedendo alla derivata prima<\/font><\/p>\n

V<\/strong><\/em><\/u>=P<\/u>‘<\/strong><\/em>=r’<\/em><\/strong> Ω<\/strong><\/u>θ,φ<\/sub>+r<\/em><\/strong> Ω<\/u>θ,φ<\/sub>‘<\/em><\/strong><\/font><\/p>\n

ma<\/font><\/p>\n

Ω<\/u>θ,φ<\/sub>‘<\/em><\/strong>=(–<\/em>θ‘<\/em> <\/strong>sin<\/em>φ<\/strong> sin<\/em>θ+φ‘ <\/em><\/strong>cos<\/em>φ<\/strong> cos<\/em>θ<\/strong>,θ‘<\/em> <\/strong>sin<\/em>φ<\/strong> cos<\/em>θ+φ‘ <\/em><\/strong>cos<\/em>φ<\/strong> sin<\/em>θ<\/strong>,–<\/em>φ<\/strong>‘ <\/strong>sin<\/em>φ<\/strong><\/font>)=<\/font><\/p>\n

=θ‘ <\/em><\/strong>sin<\/em>φ <\/strong>(–<\/em>sin<\/em>θ<\/strong>,cos<\/em>θ<\/strong>,0)+φ‘ <\/em><\/strong>(cos<\/em>φ<\/strong> cos<\/em>θ<\/strong>,cos<\/em>φ<\/strong> sin<\/em>θ<\/strong>,–<\/em>sin<\/em>φ<\/strong>)=<\/font><\/font><\/font><\/p>\n

=θ‘ <\/em><\/strong>sin<\/em>φ Θ<\/u>θ<\/sub><\/strong>+<\/strong>π\/2<\/sub>+φ‘ <\/em>Ω<\/u>θ,φ+<\/sub><\/strong>π\/2<\/sub>,<\/font><\/font><\/font><\/p>\n

quindi<\/font><\/font><\/font><\/p>\n

V<\/strong><\/em><\/u>=P<\/u>‘<\/strong><\/em>=r’<\/em><\/strong> Ω<\/strong><\/u>θ,φ<\/sub>+r<\/em><\/strong> (θ‘ <\/em><\/strong>sin<\/em>φ Θ<\/u><\/strong>θ+<\/strong>π\/2<\/sub>+φ‘ <\/em>Ω<\/u>θ,φ+<\/sub><\/strong>π\/2<\/sub>).<\/font><\/p>\n

Procedendo alla derivata successiva si ottiene l’accelerazione,<\/font><\/p>\n

A<\/strong><\/u><\/em>=P<\/u>”<\/em><\/strong>=r”<\/strong><\/em> Ω<\/strong><\/u>θ,φ<\/sub><\/strong>+2 r’<\/strong><\/em> (θ‘ <\/em><\/strong>sin<\/em>φ Θ<\/u><\/strong>θ+<\/strong>π\/2<\/sub>+φ‘ <\/em>Ω<\/u>θ,φ+<\/sub><\/strong>π\/2<\/sub>)+<\/font><\/p>\n

+r<\/strong><\/em> [sin<\/em>φ<\/strong> (θ” <\/em>Θ<\/u>θ+<\/sub><\/strong>π\/2<\/sub>–<\/em>θ‘<\/em><\/strong>2<\/sup> <\/em>Θ<\/u>θ<\/sub><\/strong>)–<\/em>φ‘<\/em><\/strong>2 <\/sup>Ω<\/u>θ,φ<\/sub><\/strong>+φ” <\/em>Ω<\/u>θ,φ+<\/sub><\/strong>π\/2<\/sub>]<\/font><\/p>\n

per ottenere questo il risultato è stato tenuto conto di quanto calcolato prima per Ω<\/strong><\/u>θ,φ<\/sub>‘ <\/em><\/strong>e che Θ<\/strong><\/u>θ+<\/strong>π<\/sub>=–<\/em>Θ<\/strong><\/u>θ<\/sub><\/strong>, Ω<\/strong><\/u>θ,φ+<\/strong>π<\/sub>=–<\/em>Ω<\/u>θ,φ<\/sub><\/strong>.<\/font><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

[…]<\/p>\n","protected":false},"author":208,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[44],"tags":[],"class_list":["post-3034","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-domande-varie-fisica"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3034","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/users\/208"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=3034"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3034\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=3034"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=3034"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=3034"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}