{"id":2975,"date":"2007-12-03T00:00:00","date_gmt":"2007-12-02T23:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"2975","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/2975\/","title":{"rendered":"Cos’\u00e8 lo scarto quadratico medio?"},"content":{"rendered":"
Lo scarto quadratico medio -SQM- (e la sua radice quadrata) di un insieme di valori è il più usato ed importante indice di dispersione<\/em> statistica. La radice quadrata dello SQM è detta deviazione standard<\/em> o deviazione quadratica media<\/em>. In inglese si trova la notazione ‘RMS (root mean square) deviation’.<\/div>\n
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Indici di tendenza centrale e di dispersione<\/strong><\/div>\n
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Supponendo di avere una collezione di misure (dette realizzazioni) di una certa variabile, è abbastanza comune fornire il valore medio definito mediante la media aritmetica dei valori misurati. La media aritmetica è solo uno degli indici di tendenza centrale<\/em> di una distribuzione di dati; altri sono la mediana, la moda e le medie armonica e quadratica. La media aritmetica è però l’indice più usato, in quanto gode di alcune importanti proprietà. Nel seguito ci riferiremo esclusivamente alla media aritmetica.<\/div>\n
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Meno comune è, purtroppo, fornire una stima della variabilità delle misure, o più precisamente della dispersione attorno al valor medio: la media infatti non dà nessuna informazione su quanto i vari valori siano vicini tra loro: in altre parole, conoscere la dispersione è importante per sapere se la media è rappresentativa dell’insieme o meno.<\/div>\n
Consideriamo infatti i due gruppi di campioni:<\/div>\n
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12     7   13      8       e:<\/div>\n
 4   18     2    16,<\/div>\n
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essi hanno entrambi media pari a 10, ma è evidente che il primo campione è molto più ‘concentrato’ attorno al valor medio, mentre il secondo è più ‘disperso’.<\/div>\n
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Per dare un’indicazione di questa proprietà si possono utilizzare diversi indicatori, il più comune dei quali è appunto lo SQM (e la sua radice), definito come la media aritmetica dei quadrati delle differenze tra ogni valore e la media (scarti). Il quadrato è usato perché ovviamente la media degli scarti è nulla, per definizione di media aritmetica.<\/div>\n
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 Lo SQM è dunque, per un insieme di N valori:<\/div>\n
 <\/div>\n
\n

 \"\"     (1).<\/p>\n

 <\/p>\n<\/div>\n

Nell’esempio citato, lo SQM vale 6.5 per il primo campione e 50 per il secondo. E’ allora chiaro come esso un ottimo candidato ad esprimere la dispersione delle misure attorno al valor medio.<\/div>\n
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E’ da notare che lo SQM può essere definito a partire da una media qualunque e non necessariamente dalla media aritmetica; è tuttavia dimostrabile che in tal caso esso assume il valore minore. E’ inoltre facile dimostrare che lo SQM può anche essere calcolato nel modo seguente:<\/div>\n
 <\/div>\n
   SQM= <x2<\/sup>>-<x>2<\/sup>   <\/em>  (2),<\/div>\n
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 ove con < > si è indicata l’operazione di media.<\/div>\n
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\n

Spesso si calcola lo SQM dividendo per N-1 anziché per N come dato nella definizione precedente; questo perché si può dimostrare che il miglior stimatore della varianza<\/em> di una distribuzione di valori è proprio la quantità<\/p>\n

\"\"  (3).<\/p>\n<\/div>\n

Più precisamente, in statistica si dimostra che, data una variabile casuale X, si ha:<\/div>\n
\n

 <\/p>\n

\"\"(4).<\/p>\n

 <\/p>\n

E’ evidente che per campioni molto grandi la differenza tra le due definizioni è trascurabile.<\/p>\n<\/div>\n

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Nelle scienze applicate spesso si utilizza la deviazione standard di una serie di misure della stessa grandezza come errore casuale<\/em> associato al valore medio. E’ opportuno ricordare come in campo scientifico non ha pressoché senso fornire una misura senza l’errore associato. Troppo spesso le statistiche riportano solo i valori medi, senza tenere conto che omettere la variabilità è nascondere gran parte dell’informazione!<\/div>\n
 <\/div>\n
 <\/div>\n
Altri indici di dispersione<\/strong><\/div>\n
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E’ naturalmente possibile utilizzare altri parametri per indicare la dispersione dei dati attorno al valore centrale, anche se, come detto, la grandezza più utlizzata è la deviazione standard.<\/div>\n
In alcuni casi, però, si utilizzano altri indicatori:<\/div>\n
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La semidispersione massima<\/em> è il più semplice indice di dispersione ed indica semplicemente la semidifferenza tra il valore massimo e minimo della distribuzione:<\/div>\n
\n

\"\" (5).<\/p>\n

Poiché esso considera solo i valori estremi è estremamente sensibile alla presenza di punti molto ‘dispersi’ (outliers).<\/p>\n<\/div>\n

 <\/div>\n
Se la distribuzione dei valori è fortemente asimmetrica lo SQM non è particolarmente interessante perché sottostima da un lato e sovrastima dall’altro la effettiva variabilità. Si possono allora utilizzare i percentili<\/em> (cioè la percentuale di dati oltre il valore fissato: cioè il 70° percentile indica il valore oltre il quale sono presenti il 30% dei dati, ad esempio). Molto usati sono il 25° ed il 75° percentile. Il 50° percentile rappresenta il valore centrale (mediana) della distribuzione una volta ordinati i valori in ordine crescente ed è spesso usato al posto della media, in quanto pesa molto meno gli outliers.<\/div>\n
 <\/div>\n
\n

Lo scostamento medio assoluto<\/em> è dato invece dalla seguente quantità:<\/p>\n

\"\"  (6),<\/p>\n<\/div>\n

\n

ove con <x> si è indicata una qualsiasi stima di tendenza centrale. E’ simile allo scarto quadratico medio, ma utilizza il modulo anziché il quadrato per ‘raddrizzare’ gli errori. Si può dimostrare che questa quantità è minima se si utilizza per <x> la mediana.<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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