{"id":285,"date":"2003-05-13T00:00:00","date_gmt":"2003-05-12T22:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"2017-10-25T12:13:41","modified_gmt":"2017-10-25T10:13:41","slug":"285","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/285\/","title":{"rendered":"Sono uno studente iscritto alla Facolt\u00e0 di Scienze MM.FF.NN. di Caserta. Ultimamente ho sentito parlare delle equazioni di Navier-Stokes e vorrei capire cosa sono e a che servono. Spero potrete aiutarmi! Un Saluto!!"},"content":{"rendered":"

Nello studio dei fluidi si assume generalmente che il fluido sia incomprimibile e non viscoso.
\nSi parla cio\u00e8 di: fluido perfetto.<\/p>\n

Queste due ipotesi si esprimono matematicamente come:
\nequazione di continuit\u00e0 per i fluidi incomprimibili<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

e irrotazionalit\u00e0 del campo di moto<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

dove v \u00e8 il vettore velocit\u00e0.<\/p>\n

Da qui attraverso il teorema della quantit\u00e0 di moto scriviamo le equazioni di Eulero per i fluidi perfetti,<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

\"\" \"\"<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

dalla quale ricaviamo ulteriormente la nota equazione di Bernoulli<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Si tratta in generale della conservazione dell’energia meccanica.
\nMentre la prima semplificazione \u00e8 largamente accettabile in quanto un fluido si pu\u00f2 considerare incomprimibile fino a circa un terzo della velocit\u00e0 di propagazione del suono nel fluido stesso (in acqua circa
\n1500m\/s), le seconda porta invece a trascurare importanti effetti dovuti all’attrito viscoso che si manifestano per velocit\u00e0 ordinarie e che possono influenzare sensibilmente il campo di moto.
\nTeniamo ora perci\u00f2 conto dell’intervento degli sforzi tangenziali d’attrito dovuti appunto alla viscosit\u00e0.
\nAnche qui si assume di trattare fluidi newtoniani, ovvero tali che gli sforzi tangenziali siano linearmente proporzionali al gradiente della velocit\u00e0:
\n\"\"
\ndove y \u00e8 la direzione perpendicolare al moto mentre m<\/span> \u00e8 il coefficiente di attrito viscoso.
\nConsiderando (come fatto per ricavare le equazioni di Eulero) le forze agenti sulle facce di un elemento prismatico (porzione del campo di moto) e la terna cartesiana x,y,z, con l’asse x parallela alla
\ndirezione del moto otteniamo le equazioni di Navier-Stokes:<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

\"\" \"\"<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Tali equazioni permettono (in linea teorica) di risolvere tutti i problemi del moto dei fluidi tenendo conto della loro viscosit\u00e0 ovvero dei fluidi reali.
\nIn pratica ci troviamo per\u00f2 di fronte alla complicata forma di queste equazioni alle derivate parziali non lineari che ne rendono ardua la soluzione.
\nSi noti che, ponendo m<\/span>=0, ritorniamo ad avere le equazioni di Eulero, ma nel contempo vediamo che ci\u00f2 non ha significato reale.
\nAttraverso un processo di adimensionalizzazione delle equazioni di Navier-Stokes possiamo introdurre delle semplificazioni in funzione del fatto che ci si trova in condizioni in cui l’attrito viscoso o le forze
\nd’inerzia siano trascurabili.
\nL’indice che segna i confini (purtroppo molto sfumati) \u00e8 rappresentato dal numero di Reynolds (Re) il quale esprime il rapporto tra forze d’inerzia e forze viscose.
\nRiferendoci ai i due casi limite dove Re=\u00a5<\/span>, Re=0 dove le forze viscose sono rispettivamente trascurabili e
\ndominanti avremo: nel primo caso le equazioni di Eulero, nel secondo avremo invece che il primo termine a secondo membro delle equazioni di Navier-Stokes sar\u00e0 trascurabile: le equazioni cos\u00ec ottenute sono anche
\ndette di scorrimento lento dei fluidi viscosi.<\/p>\n

N.B. lo studio cinematico \u00e8 affrontato con approccio di tipo euleriano dove la determinazione del campo di moto avviene in ciascun punto indipendentemente da quale particella attraversi tale punto: in questo senso vanno quindi interpretate le derivate totali.<\/p>\n

Simbologia:
\np: pressione
\nh: altezza colonna d’acqua (di fluido)
\ng: peso specifico
\nm: viscosit\u00e0
\nr: densit\u00e0<\/p>\n

Cenni storici:
\nle attuali equazioni di Navier-Stokes furono dapprima ricavate da M.H. Navier (1822) e da S.D. Poisson (1829) in base a considerazioni di mutue azioni fra le molecole dei fluidi, e pi\u00f9 tardi da J-C.B. De Saint Venant (1843) e da G.G. Stokes in base allo schema classico.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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