{"id":2820,"date":"2007-01-17T00:00:00","date_gmt":"2007-01-16T23:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"2820","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/2820\/","title":{"rendered":"Salve. In meccanica quantistica regna il principio di indeterminazione di Heisenberg. Ma quando noi chiediamo che per risolvere l’equazione di Schroedinger dobbiamo conoscere esattamente il potenziale a cui \u00e8 soggetta una particella questo fatto non presuppone, almeno in linea di principio, la conoscenza esatta della configurazione delle sorgenti? Grazie."},"content":{"rendered":"

L\u2019equazione di Schroendiger \u00e8 l\u2019equazione fondamentale della Meccanica Quantistica Ondulatoria, in cui l\u2019oggetto fondamentale della descrizione meccanica di un sistema fisica \u00e8 la funzione d\u2019onda ψ<\/font><\/em>, una funzione a valore complessi la cui evoluzione nel tempo \u00e8 determinata appunto dall\u2019equazione differenziale<\/font><\/p>\n

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dove\u00a0Δ<\/font> \u00e8 l\u2019operatore laplaciano (somma delle derivate seconde pure rispetto alle tre coordinate cartesiane) e\u00a0V<\/strong><\/font> \u00e8 l\u2019energia potenziale in cui avviene la dinamica della particella. Nel caso in cui\u00a0V<\/strong><\/font> sia indipendente dal tempo allora il sistema possieder\u00e0 degli stati u ad energia fissata E, che possono essere calcolati con l\u2019equazione stazionaria<\/font><\/p>\n

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Questa equazione, e la teoria meccanica relativa, sono\u00a0importantissime sia dal punto di vista storico, perch\u00e8 \u00e8 stato il primo esempio di teoria quantistica ad incomporare in maniera coerente il principio di indeterminazione e contemporaneamente a fornire un collegamento immediato ed intuitivo con la Meccanica Classica tramite le famose regole di quantizzazione che permettono di ricavare la descrizione quantistica di un qualunque sistema fisico di cui si conosca gi\u00e0 la descrizione classica, sia dal punto di vista pratico, tuttora \u00e8 utilizzatissima in tantissimi ambiti applicativi, soprattutto di chimica-fisica.<\/font><\/p>\n

Tuttavia questa teoria presenta tre difetti.<\/font><\/p>\n

Innanzitutto non descrive tutti i fenomeni quantistici conosciuti, ad esempio la possibilit\u00e0 di trasformazioni tra particelle cos\u00ec come \u00e8 prevedibile ragionando in termini sia quantistici e relativistici, e le successive modifiche di questa equazione in modo da renderla coerente con la teoria della Relativit\u00e0 Ristretta (equazione di Klein-Gordon per i bosoni ed equazione di Dirac per i fermioni) non hanno risolto in realt\u00e0 il problema. Questi fenomeni possono essere analizzati solo passando alla Teoria Quantistica dei Campi perch\u00e8 la Meccanica Ondulatoria presuppone, anche se in maniera implicita, che le particelle non possano mai cambiare di numero e di propriet\u00e0, per cui non pu\u00f2 essere in grado di descrivere queste trasformazioni. Solo considerando le particelle come manifestazioni di un oggetto pi\u00f9 fondamentale che \u00e8 il campo si pu\u00f2 riuscire a dare conto delle loro trasformazioni.<\/font><\/p>\n

Poi non spiega come sia possibile che un sistema inizialmente non in uno stato stazionario evolva verso uno stato stazionario (cosa che deve accadere visto che in natura la maggior parte dei sistemi fisici si trova in uno stato stazionario e inoltre questa evoluzione \u00e8 osservata anche sperimentalmente per esempio nella formazione delle molecole o durante il raffreddamento dei plasmi) e soprattutto verso uno stato stazionario che corrisponde ad uno stato ad energia fissata di valore minimo. Anche in questo caso \u00e8 il ricorso alla Teoria dei Campi che risolve il problema perch\u00e8 queste evoluzioni richiedono scambi di energia con qualche sorgente esterna (in particolare cessione di energia quando un sistema evole verso lo stato fondamentale) per cui \u00e8 necessario, ancora una volta, tenere conto della possiiblit\u00e0 di creare ulteriori particelle che “servono” al sistema per scambiare energia con l\u2019esterno, per esempio fotoni.<\/font><\/p>\n

Infine l\u2019equazione di Schroendiger deve essere sempre scritta a partire dalla descrizione classica della dinamica della particella o del sistema fisico, questo vuol dire che l\u2019energia potenziale V<\/strong><\/font> da inserire nell\u2019equazione \u00e8 una funzione ben determinata, invariante nel tempo o con una variazione temporale deterministica. Nei casi in cui la Meccanica Quantistica ha peso rilevante questa energia potenziale \u00e8 determinata dalla posizione di altre particelle, per esempio il nucleo di un atomo o la posizione degli ioni in un reticolo metallico.<\/font><\/p>\n

Ma, come fa notare la domanda, anche per queste particelle dovrebbe valere il Principio di Indeterminazione, per cui queste posizioni non potrebbero essere note neanche in linea di principio con la precisione necessaria a scrivere una funzione energia potenziale completamente deterministica. L\u2019obiezione \u00e8 corretta e infatti, in linea di principio, per un qualunque sistema bisognerebbe scrivere un\u2019equazione che descriva contemporaneamente lo stato della particella in esame e di tutte le altre particelle che interagiscono con essa.<\/font><\/p>\n

In qualche caso questo pu\u00f2 essere fatto e l\u2019equazione pu\u00f2 essere risolta senza problemi, per esempio nel caso dell\u2019atomo di idrogeno si pu\u00f2 considerare l\u2019equazione di Schroendiger per l\u2019elettrone ed il protone insieme. In questo caso il termine di energia potenziale ha la stessa forma matematica che per l\u2019atomo di idrogeno standard, ma non c\u2019\u00e8 pi\u00f9 il problema concettuale di conoscere la posizione con precisione: ovunque siano l\u2019elettrone ed il protone la loro energia potenziale di interazione \u00e8 quella data dalla legge di Coulomb, a tenere conto dell\u2019indeterminazione intrinseca ci “pensa” la descrizione data in termini di funzione d\u2019onda complessa per entrambi i corpi. Con un semplice cambio di coordinate, passando al sistema di riferimento del centro di massa, l\u2019equazione pu\u00f2 essere separata in un\u2019equazione che descrive il moto complessivo dell\u2019atomo, che quindi sar\u00e0 un moto libero, non soggetto a forze,<\/font><\/p>\n

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e un\u2019equazione che descriva il moto interno dell\u2019atomo, che sar\u00e0 uguale in tutto e per tutto a quella che scriveremmo per un elettrone che gira intorno ad un protone fisso<\/font><\/p>\n

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con la differenza che la massa presente nell\u2019equazione \u00e8 la cosidetta Massa Ridotta data dalla formula<\/font><\/p>\n

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Nella maggior parte dei casi invece il problema non pu\u00f2 essere risolto cos\u00ec elegantemente e ci si deve accontentare di considerare il potenziale generato in maniera classica all\u2019interno della descrizione quantistica. Questo tuttavia non comporta errori molto grossi per il motivo che in generale, per gli elementi pi\u00f9 comunemente studiati in questi termini, i nuclei o gli ioni atomici hanno una massa che va da circa 2000 volte (nel caso dell\u2019atomo di idrogeno) a circa 200000 volte (nel caso dei metalli pi\u00f9 pesanti) la massa di un elettrone. Questo significa che, mentre la disequazione di indeterminazione standard, quella che coinvolge posizione e quantit\u00e0 di moto,<\/font><\/p>\n

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\u00e8 uguale per tutti i componenti del sistema, la relazione di inderminazione modificata per la posizione e la velocit\u00e0,<\/font><\/p>\n

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presenta un fattore di indeterminazione minima per i nuclei atomici che \u00e8 da 2000 a 200000 volte pi\u00f9 piccolo di quello per gli elettroni. Da qui si capisce immediatamente che “violare” l\u2019indeterminazione per questi oggetti e considerarli fermi, cio\u00e8 con posizione e velocit\u00e0 determinate, non comporta un errore importante ai fini dei calcoli e quindi costituisce un\u2019approssimazione accettabile.<\/font><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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