{"id":2814,"date":"2008-06-15T00:00:00","date_gmt":"2008-06-14T22:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"2814","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/2814\/","title":{"rendered":"Vorrei capire (GRAFICAMENTE) qual \u00e8 la differenza tra continuit\u00e0 e uniforme continuit\u00e0 di una funzione? So che nell’uniforme continuit\u00e0 il famoso “ni” della definizione di limite dipende solo da “epsilon”, mentre nella continuit\u00e0 “ni” \u00e8 funzione sia di x che di epsilon; ma non so”visualizzare”graficamente tutto ci\u00f2."},"content":{"rendered":"

Una funzione f : (a,b) → R<\/span> si dice uniformemente continua <\/span>se per ogni ε>0 esiste δ>0 tale per cui per ogni x,y ∈(a,b) con |x-y|<δ si ha |f(x)-f(y)|<ε.<\/p>\n

E’ immediato verificare che se f \u00e8 uniformemente continua, allora \u00e8 anche continua. La vera cosa che distingue le due definizioni, come anche l’autore della domanda ha compreso, sta nel fatto che nella definizione di uniforme continuit\u00e0 c’\u00e8, per l’appunto, una richiesta di uniformit\u00e0 di δ rispetto ai punti x,y, cosa che in generale non \u00e8 vera. Ad esempio se consideriamo una funzione che si impenna troppo<\/span> allora il parametro δ della definizione di continuit\u00e0 non pu\u00f2 essere indifferente rispetto a x e y; infatti se il grafico \u00e8 troppo ripido quello che uno si aspetta \u00e8 che δ sia molto piccolo pi\u00f9 x e y sono vicini, e che quindi sia una funzione vera e propria di x e y. Ad esempio la funzione f(x)=1\/x non \u00e8 uniformemente continua in (0,1). Lo \u00e8 invece in (1,+∞); infatti una condizione sufficiente per l’uniforme continuit\u00e0 \u00e8 la lipschitzianit\u00e0. <\/span>
Per una funzione derivabile, la lipschitzianit\u00e0 equivale alla limitatezza della derivata prima; e dunque una funzione lipschitziana (derivata prima limitata ⇒ grafico non troppo impennato) \u00e8 uniformemente continua.<\/p>\n

Esiste infine un importante Teorema, molto utile nelle applicazioni, che afferma quanto segue:<\/p>\n

Teorema: <\/span>Sia f:[a,b] →R<\/span> una funzione continua, con a,b∈R<\/span>; allora f \u00e8 uniformemente continua.<\/span> <\/p>\n
Ovvero, la continuit\u00e0 su un intervallo chiuso e limitato implica l’uniforme continuit\u00e0. Questo \u00e8 fonte di generalizzazioni interessanti: ad esempio la continuit\u00e0 su un compatto implica l’uniforme continuit\u00e0.
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