{"id":2807,"date":"2006-11-30T00:00:00","date_gmt":"2006-11-29T23:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"2807","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/2807\/","title":{"rendered":"Avendo capito le dimostrazioni del teorema di Cauchy e della formula di Cauchy per le funzioni olomorfe, non capisco quale sia la simmetria che ha una funzione olomorfa per poter avere l’integrale di linea sempre nullo. diagrammare le funzioni complesse, se si pu\u00f2 usare i programmi Matlab, Mathematica o Derive. Ha Lei dei grafici?"},"content":{"rendered":"

Una funzione olomorfa \u00e8 una funzione f: Ω → C <\/span>derivabile in senso complesso, essendo\u00a0Ω un aperto in C<\/span>. La prima fondamentale cosa che discende dall’ipotesi di olomorfia di una funzione \u00e8 rappresentata dalle cosidette condizioni di Cauchy-Riemann <\/span>che esprimono il fatto che la 1-forma differenziale f(z)dz \u00e8 una forma chiusa, da cui il Teorema di Cauchy.<\/p>\n

Infatti se uno calcola f'(z0<\/sub>) dando solo un incremento reale ottiene<\/p>\n

f'(z0<\/sub>)=∂u\/∂x+i∂v\/∂x<\/p>\n
essendo f=u+iv. Invece se uno calcola f'(z0<\/sub>) dando solo un incremento immaginario puro trova che <\/p>\n
f'(z0<\/sub>)=∂v\/∂y-i∂u\/∂y.<\/p>\n
Confrontando i risultati ottenuti si conclude che <\/p>\n
∂u\/∂x=∂v\/∂y
∂v\/∂x=-∂u\/∂y<\/p>\n
che sono le condizioni di Cauchy-Riemann; f viene quindi ad essere soluzione di un sistema di equazioni alle derivate parziali in u e v, sue componenti reale ed immaginaria rispettivamente. Sia quindi γ una curva chiusa in Ω; anzitutto si ha<\/p>\n
∫γ f(z)dz=∫γ [udx-vdy]+ i∫γ [udy+vdx].<\/p>\n
Per le formule di Green si ha<\/p>\n
∫γ [udx-vdy]=∫∫Ω [∂v\/∂x+∂u\/∂y]dxdy=0.<\/p>\n
Analogamente si ha<\/p>\n

<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
∫γ [udy+vdx]=∫∫Ω [∂u\/∂x-∂v\/∂y]dxdy=0.<\/p>\n
Dunque la propriet\u00e0 di simmetria chiesta che d\u00e0 l’olomorfia e che rende vero il Teorema di Cauchy \u00e8 riassunta nelle condizioni di Cauchy-Riemann.<\/p>\n

Quanto al diagramma delle funzioni date non \u00e8 possibile avere un grafico “visibile o reale” per funzioni cos\u00ec fatte: infatti sia il dominio che il codominio sono in C<\/span>,\u00a0 che “realmente parlando” hanno dimensione 2 entrambi, e quindi il grafico di f verrebbe ad essere un sottoinsieme di uno spazio 4-dimensionale. <\/p>\n

Una valida alternativa potrebbe essere quella di vedere una funzione olomorfa come campo vettoriale in R2<\/sup><\/span>. Dunque l’unico modo per graficare la situazione \u00e8 vedere un campo nel piano, per esempio come campo conservativo, che garantisce la chiusura della forma f(z)dz, ovvero l’olomorfia di f. Con vari programmi informatici \u00e8 possibile disegnare campi vettoriali piani; il disegno di un campo conservativo porta ad una visualizzazione dell’olomorfia della funzione associata al campo stesso.
<\/div>\n


<\/span><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

[…]<\/p>\n","protected":false},"author":228,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[66],"tags":[],"class_list":["post-2807","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-analisi-matematica"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2807","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/users\/228"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2807"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2807\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2807"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2807"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2807"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}