{"id":2753,"date":"2008-06-15T00:00:00","date_gmt":"2008-06-14T22:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"2753","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/2753\/","title":{"rendered":"Mi potreste enunicare l’assioma della scelta e il motivo euristico per cui viene introdotto nella teoria degli insiemi infiniti? In particolare per questioni attinenti il confrontare gli infiniti?"},"content":{"rendered":"

L’assioma della scelta \u00e8 un assioma della Teoria assiomatica degli insiemi, ma \u00e8 diverso dai primi 7 assiomi classici della Teoria ZF (Zermelo-Fraenkel); infatti non solo buona parte della Matematica si pu\u00f2 costruire senza utilizzare tale assioma, ma \u00e8 stato dimostrato (Godel, 1938-Cohen, 1963) che esso risulta anche logicamente indipendente dai primi 7 assiomi. Dunque appare evidente che l’accettazione o la non accettazione dell’assioma della scelta \u00e8 una scelta<\/span> di chi fa Matematica dettata pi\u00f9 da opinione personale che da esigenze di natura logica.<\/p>\n

L’assioma della scelta, al di l\u00e0 della sua scrittura formale corretta nell’ambito della logica della Teoria degli insiemi, in parole povere afferma quanto segue: dato un insieme non vuoto X, per ogni suo sottoinsieme A esiste sempre un “modo” di scegliere un elemento di A; ovvero esiste un insieme i cui elementi sono scelti da ogni sottinsieme non vuoto di A.<\/p>\n

Il motivo per il quale l’assioma della scelta \u00e8 cos\u00ec delicato sta nel fatto che si postula l’esistenza di un insieme senza usare l‘assioma della specificazione,<\/span> ovvero quell’assioma della Teoria ZF che afferma il modo comune di costruire gli insiemi: partire da un insieme dato e selezionare quegli elementi che verificano una certa propriet\u00e0. Allora l’assioma di specificazione afferma che tali elementi selezionati formano ancora un insieme, sottoinsieme dell’insieme dato. Nel caso dell’assioma della scelta non stiamo selezionando elementi attraverso una propriet\u00e0 che essi hanno tra tutti gli elementi dell’\u00ecnsieme dato.<\/p>\n

L’assioma della scelta interviene in modo essenziale nella dimostrazione di Teoremi molto generali della Matematica. Esso infatti ha varie formulazioni equivalenti, spesso non viene utilizzato nella sua forma originaria. Ad esempio l’assioma della scelta equivale ad un principio detto del buon ordinamento<\/span>, ovvero un principio secondo il quale ogni insieme pu\u00f2 essere ben ordinato, \u00e8 quindi possibili contare uno dopo l’altro i suoi elementi. Oppure ancora l’assioma della scelta equivale al Lemma di Zorn<\/span> secondo il quale ogni insieme non vuoto X parzialmente ordinato tale per cui ogni sottoinsieme totalmente ordinato ha un elemento massimale, ha un elemento massimale. Il Lemma di Zorn costituisce la versione dell’assioma della scelta principalmente utilizzata in Analisi Matematica; la dimostrazione di alcuni risultati fondamentali di Analisi funzionale si appoggia sul Lemma di Zorn; basta citare, a riguardo, la forma analitica del Teorema di Hahn-Banach.<\/p>\n

L’assioma della scelta interviene comunque, in gran parte, nella Teoria degli insiemi infiniti, come \u00e8 naturale aspettarsi. Ad esempio una significativa applicazione un p\u00f2 nascosta dell’assioma della scelta in tale teoria \u00e8 costituita da un Teorema di Zermelo,<\/span> il quale afferma che il prodotto cartesiano di insiemi non vuoti \u00e8 ancora non vuoto. Questo sarebbe banale se il prodotto cartesiano fosse finito; in generale per mostrare un elemento che appartiene al prodotto cartesiano infinito si sceglie un elemento in ogni insieme e si mostra cos\u00ec un elemento del prodotto infinito. In effetti Zermelo (primi anni del 1900) fu uno dei primi a capire l’esigenza di una formulazione esplicita di un tale assioma; prima di lui infatti tale assioma veniva implicitamente usato e spesso sottinteso in certe dimostrazioni. <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

[…]<\/p>\n","protected":false},"author":228,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[68],"tags":[],"class_list":["post-2753","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-domande-varie-matematica"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2753","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/users\/228"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2753"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2753\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2753"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2753"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2753"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}