{"id":2750,"date":"2006-11-25T00:00:00","date_gmt":"2006-11-24T23:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"2750","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/2750\/","title":{"rendered":"\u00e8 vero che la cardinalit\u00e0 degli aperti di R \u00e8 la stessa cardinalit\u00e0 di R?e qual’\u00e8 la cardinalit\u00e0 f funzione definita nell’intervallo chiuso [a,b]a valori in R?e se f \u00e8 continua qual’\u00e8 la sua cardinalit\u00e0?grazie"},"content":{"rendered":"

La cardinalit\u00e0 di un insieme non \u00e8 una definizione ben data se l’insieme in questione non \u00e8 finito. Nel caso generale quindi si parla solo di equipotenza tra insiemi, dicendo se due insiemi “hanno la stessa cardinalit\u00e0” o no, ovvero se siano equipotenti oppure no.
Due insiemi A e B hanno la stessa cardinalit\u00e0 se esiste una funzione biiettiva f : A → B; moralmente stiamo dicendo che possiamo mettere in corrispondenza uno ad uno gli elementi di A con gli elementi di B.
Un fatto all’apparenza strano che pu\u00f2 capitare \u00e8 il seguente: A ha la stessa cardinalit\u00e0 di B, dove B \u00e8 un sottoinsieme proprio di A, ovvero non coincide con A. E’ facile vedere, ed \u00e8 molto intuitivo del resto, che questo fatto non pu\u00f2 capitare se A \u00e8 un insieme finito (il tutto<\/span> \u00e8 maggiore della parte<\/span> come diceva Euclide), ma per gli insiemi infiniti invece \u00e8 di regola. Basti pensare all’insieme N<\/span> dei numeri naturali che \u00e8 in corrispondenza biiettiva con il sottoinsieme proprio P<\/span> dei numeri pari (f : N<\/span> → P <\/span>data da f(n)=2n).
Un intervallo in R<\/span> ha ancora la stessa cardinalit\u00e0 di R<\/span>, e questo mostra quanto richiesto; la seguente figura illustra quale sia la biiezione f che manda l’intervallo (x,y) sulla semiretta reale positiva, che ha la stessa cardinalit\u00e0 dell’intera retta reale:<\/p>\n

\"\"<\/p>\n
Basta infatti proiettare sulla semiretta dal punto P i vari punti del segmento dato (x,y).<\/p>\n

Quanto alla seconda parte della domanda, non \u00e8 definita la cardinalit\u00e0 di una funzione; l’equipotenza \u00e8 un concetto di tipo insiemistico, eventualmente si potrebbe parlare di cardinalit\u00e0 dell’insieme immagine della funzione data. Se questo fosse il quesito, allora \u00e8 presto fatto: se la funzione f fosse costante oppure assumesse un numero finito o numerabile (in biiezione con N<\/span>) di valori, allora l’immagine sarebbe finita o numerabile come insieme. Se la funzione f fosse invece continua e non costante su [a,b], allora per il Teorema dei valori intermedi l’immagine di f sarebbe un intervallo, chiuso e limitato per il Teorema di Weierestrass, e dunque un insieme che ha la stessa cardinalit\u00e0 di R<\/span>.
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