{"id":2744,"date":"2006-10-20T00:00:00","date_gmt":"2006-10-19T22:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"2744","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/2744\/","title":{"rendered":"Il teorema di Fermat relativo alle funzioni."},"content":{"rendered":"

Il Teorema di Fermat relativo alle funzioni di una variabile reale \u00e8 un Teorema fondamentale che lega il calcolo differenziale al problema della ricerca di estremi locali di una funzione reale di variabile reale. L’idea (che risale allo stesso Fermat) \u00e8 che una funzione attorno ad un suo estremo \u00e8 stazionaria<\/span>: ovvero una funzione attorno ad un suo estremo si comporta quasi come se fosse costante.<\/p>\n

Teorema di Fermat: <\/span>Sia data una funzione derivabile f : (a,b) → R<\/span>. Supponiamo che c ∈(a,b) sia un punto di minimo (o massimo) locale per f; allora f'(c)=0.<\/p>\n

Dimostrazione. <\/span>Consideriamo <\/p>\n

\"\"\/<\/p>\n
Supponiamo che c sia punto di minimo locale (se c fosse punto di massimo locale la dimostrazione sarebbe la stessa, a meno di ovvie modifiche). Essendo c punto di minimo locale, per h>0 abbastanza piccolo si ha che f(c+h)≥f(c); ne segue che f'(c)≥0, essendo limite di una funzione non-negativa. Per h<0 abbastanza piccolo si ha ancora f(c+h)≥f(c), ma stavolta il rapporto incrementale risulta negativo, avendosi numeratore positivo e denominatore negativo; ne segue che f'(c)≤0. Ma allora deve essere f'(c)=0, che conclude la dimostrazione.<\/p>\n

Tale Teorema si applica alla ricerca dei punti di minimo o massimo locali per funzioni derivabili; infatti a norma del precedente Teorema gli unici possibili punti candidati ad essere di massimo o minimo locale per f (punti interni all’intervallo) sono i cosidetti punti critici<\/span>, ovvero i punti x per cui f'(x)=0. Non \u00e8 detto per\u00f2 che tali punti siano necessariamente o punti di minimo o punti di massimo locale; \u00e8 ben noto che una funzione potrebbe avere un punto critico detto di flesso a tangente orizzontale, che non \u00e8 quindi n\u00e8 di minimo n\u00e8 di massimo locale. Esempio: la funzione f(x)=x3<\/sup> ha in x=0 un punto di flesso a tangente orizzontale, essendo f'(0)=0, ma non essendo x=0 n\u00e8 di minimo n\u00e8 di massimo locale per f.

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