{"id":2739,"date":"2006-10-20T00:00:00","date_gmt":"2006-10-19T22:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"2739","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/2739\/","title":{"rendered":"Che cosa afferma precisamente il teorema fondamentale del calcolo integrale e qual \u00e8 il suo legame con la definizione di primitiva di una funzione?"},"content":{"rendered":"

Il Teorema fondamentale del calcolo integrale \u00e8, a parer mio, il pi\u00f9 bel Teorema dell’intera Matematica, dal momento che enuncia il profondissimo legame che sussiste tra due problematiche che originariamente erano tra loro slegate: da una parte la ricerca delle tangenti e della velocit\u00e0, dall’altra parte la quadratura di curve piane, che hanno portato alla creazione dell’Analisi Matematica. <\/p>\n

Il Teorema fondamentale del calcolo integrale afferma che il problema della quadratura \u00e8 l’inverso del problema delle tangenti.<\/p>\n

Teorema (fondamentale del calcolo integrale): <\/span>Data una funzione continua f : [a,b] → R<\/span>, consideriamo la funzione integrale <\/span><\/p>\n

F: [a,b] → R <\/span>data da F(x)=∫[a,x]<\/sub>f(s)ds;<\/p>\n
Allora per ogni x ∈(a,b) si ha che F \u00e8 una funzione derivabile e vale F'(x)=f(x).<\/p>\n

Dimostrazione: <\/span>Dobbiamo calcolare 1\/h [F(x+h)-F(x)] e passare al limite per h →0. Supponiamo h>0 (per h<0 l’idea \u00e8 la stessa); si ha <\/p>\n

F(x+h)-F(x)=∫[x,x+h]<\/sub>f(s)ds.<\/p>\n
Per continuit\u00e0 si ha che per ogni ε>0 esiste h>0 tale che |f(s+t)-f(s)|<ε per ogni t con |t|<h; ma allora si ha<\/p>\n
f(x)-ε ≤ inf[x,x+h]<\/sub> f(s) ≤ 1\/h [F(x+h)-F(x)] ≤ sup[x,x+h]<\/sub>f(s) ≤ f(x)+ε.<\/p>\n
Per l’arbitrariet\u00e0 di ε>0 si conclude.<\/p>\n

Osservazione: <\/span>Il Teorema fondamentale del calcolo integrale ha una conseguenza importante: dal momento che le primitive di una funzione f, ovvero le funzioni F tali per cui F’=f, sono uniche a meno di costanti additive, si ha che se F denota una primitiva qualunque per f, allora <\/p>\n

F(x)=F(a)+∫[a,x]<\/sub>f(s)ds;<\/p>\n
quindi si ha anche <\/p>\n
F(b)-F(a)=∫[a,x]<\/sub>f(s)ds<\/p>\n
che fornisce il metodo analitico con il quale viene calcolato un integrale (definito).
<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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