{"id":2737,"date":"2006-11-01T00:00:00","date_gmt":"2006-10-31T23:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"2737","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/2737\/","title":{"rendered":"Innanzitutto complimenti per il sito! Volevo quindi chiedervi se il modello atomico di Sommerfeld viene ancora oggi utilizzato, oltre che per scopi didattici. In certi casi, pu\u00f2 costituire una valida “alternativa” alla Meccanica Quantistica? Vi ringrazio."},"content":{"rendered":"

Il modello atomico di Sommerfeld<\/em>\u00a0\u00e8 il modello atomico che scaturisce dal primo tentativo di codificare le evidenze della natura quantistica del mondo in un apparato teorico, la cosidetta Quantizzazione di Borh-Sommerfeld<\/em>. Essa consiste nell’introdurre a mano alcuni elementi di Meccanica Ondulatoria<\/em> all’interno della Meccanica di Newton<\/em> che invece descrive gli oggetti corpuscolari.<\/font><\/p>\n

In pratica si considerano validi tutti i Principi della Meccanica di Newton<\/em>, compresa l’equazione F<\/em><\/strong>=ma<\/strong><\/em> per il calcolo della legge oraria e della traiettoria, ma si aggiunge che negli stati di moto confinato possono esistere solo quelli associati ad onde di De Broglie<\/em> stazionarie. Cio\u00e8 quando un corpo\u00a0\u00e8 confinato a muoversi in una regione ristretta dello spazio (quindi a compiere un moto approssimativamente periodico), come ad esempio una biglia all’interno di una scatola o un elettrone legato ad un nucleo atomico, il corpo in moto pu\u00f2 seguire solo quelle traiettorie per le quali la lunghezza d’onda di De Broglie<\/em> (λ=h<\/em>\/p<\/em>, con p<\/em> quantit\u00e0 di moto e h<\/em> costante di Planck)\u00a0\u00e8 un sottomultiplo della lunghezza dell’orbita periodica. Chiaramente questa teoria quantistica\u00a0\u00e8 autocontradditoria perch\u00e9 si introduce di fatto un elemento (la natura ondulatoria della materia)\u00a0in evidente contrasto con altri assunti della teoria stessa (il concetto di traiettoria pu\u00f2 essere costruito solo ammettendo che si possano conoscere simultaneamente posizione e velocit\u00e0 del corpo, cosa vietata dal Principio di Indeterminazione di Heisenberg<\/em> che soggiace al concetto di onda di De Broglie<\/em>). Per tale motivo la Quantizzazione di Bohr-Sommerfeld<\/em>\u00a0\u00e8 classificata come una teoria semiclassica, perch\u00e9 incorpora la natura ondulatoria della materia senza per\u00f2 farlo in maniera coerente.<\/font><\/p>\n

Applicando questa nuova meccanica allo studio dell’atomo di Idrogeno si ottiene il modello di Sommerfeld<\/em> che prevede ancora delle orbite ellittiche per l’elettrone intorno al nucleo, ma che non possono avere una forma e una distanza dal nucleo arbitraria: sono quantizzate, cio\u00e8 le sue caratteristiche geometriche (le lunghezze dei due semiassi) possono variare solo di quantit\u00e0 discrete, non con continuit\u00e0.<\/font><\/p>\n

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Modello atomico di Sommerfeld: <\/font>le ellissi piene verdi sono due orbite permesse, quella tratteggiata in rosso invece\u00a0\u00e8 un orbita intermedia proibita.<\/font><\/p>\n

Nonostante la “rozzezza” di questo modello rispetto a quello completamente quantistico di Schroendiger<\/em>, da esso gi\u00e0 possono essere ricavate alcune propriet\u00e0 interessanti, ricavabili naturalmente anche da quello di Schroendiger<\/em>, come ad esempio la quantizzazione dell’energia meccanica associata ad ogni orbita. Ogni variazione energetica deve essere accompagnata dall’emissione o assorbimento di un quanto di luce, un fotone che sottragga o apporti la quantit\u00e0 di energia necessaria alla transizione. In pratica ogni orbita di Sommerfeld<\/em> corrisponde ad un orbitale di Schroendiger<\/em>, per quanto riguarda le grandezze fondamentali di energia, momento angolare e momento magnetico, per\u00f2 non essendo il modello di Sommerfeld<\/em> completamente quantistico non coglie tutti gli aspetti della fisica atomica colti da quello di Schroendiger<\/em>. <\/p>\n

Ormai questo modello ha principalmente un interesse didattico: non esiste corso base di Meccanica Quantistica che non inizi con la Quantizzazione di Bohr-Sommerfeld<\/em> per introdurre i futuri fisici al mondo “strano” e affascinante della fisica dei quanti. Tuttavia il suo limite, cio\u00e8 l’incorporazione solo parziale del principio di indeterminazione, fa capire che ci possono ancora essere delle condizioni di utilizzo pratico di questo modello: se si analizza la fisica di sistemi in condizioni in cui le propriet\u00e0 quantistiche sono ancora rilevanti ma in cui, per esempio, gli scambi energetici sono abbastanza fitti da poter essere approssimati come continui (o come si dice in gergo, quando i numeri quantici, quelli che individuano l’energia e le altre grandezze fisiche in termini quantizzati, sono molto grandi), allora le previsioni fatte con la Quantizzazione di Bohr-Sommerfeld<\/em> non si discosteranno in modo significativo da quelle fatte tramite l’equazione d’onda di Schroendiger<\/em>. In tali casi il modello di Sommerfeld<\/em> viene in aiuto se i calcoli fatti con la Meccanica Quantistica “giusta” si rivelassero troppo complicati da portare a termine. Un esempio su tutti\u00a0\u00e8 lo studio del comportamento degli elettroni periferici negli atomi molto grandi (quando il numero di elettroni dell’atomo si avvicina o supera il centinaio).<\/font><\/p>\n

Appendice<\/font><\/strong><\/p>\n

In questa appendice verr\u00e0 spiegata brevemente la Quantizzazione di Bohr-Sommerfeld<\/em> in termini maggiormente rigorosi rispetto al corpo della domanda.<\/font><\/p>\n

Se abbiamo un moto periodico, allora il sistema presenta tutta una serie di grandezze che restano costanti nel moto. Queste grandezze, a meno di costante moltiplicative, sono tutte esprimibili nella forma<\/font><\/p>\n

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dove q<\/em> e p<\/em> sono rispettivamente una coordinata generalizzata usata nella descrizione del sistema e il momento ad essa coniugato. Esempi di coppie di questo tipo sono un angolo e un momento angolare, oppure una coordinata spaziale e la relativa componente della quantit\u00e0 di moto.<\/font><\/p>\n

Queste grandezze cos\u00ec calcolate hanno tutte naturalmente le dimensioni di un’azione, co e la costante di Planck h<\/em>, pertanto venne naturale porre come condizione di quantizzazione<\/font><\/p>\n

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dove si impone che il valore di queste grandezze costanti debba essere uguale ad un multiplo intero della costante di Planck. Le traiettorie che restituiscono valori in rapporto non intero con h<\/em> per queste grandezze non sono permesse e non vengono quindi mai percorse da un sistema fisico. <\/font><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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