{"id":2725,"date":"2006-10-06T00:00:00","date_gmt":"2006-10-05T22:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"2725","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/2725\/","title":{"rendered":"Come si calcola attraverso la seconda legge di Ohm, la resistenza elettrica di un disco \r\ndi spessore trascurabile\r\nraggio R\r\ni cui contatti sono posti uno al centro del disco e uno sul bordo esterno \r\nsupponendo che i punti del disco di raggio uguale siano equipotenziali\r\n\r\nGrazie\r\nStefano"},"content":{"rendered":"

Il problema \u00e8 posto in evidente simmetria circolare, quindi immagineremo il disco diviso in tante corone infinitesime concentriche in serie tra loro.<\/p>\n

Chiamiamo\u00a0ρ<\/strong><\/font> la resistivit\u00e0\u00a0del materiale di cui \u00e8 fatta la lamina e\u00a0s<\/strong><\/font> il suo spessore (trascurabile per quanto riguarda la distribuzione delle correnti, ma non per il calcolo della resistenza da centro a circonferenza), diciamo poi R<\/font><\/strong> la resistenza e r<\/font> <\/strong>il raggio generico.<\/p>\n

Ogni corona circolare di spessore (radiale) infinitesimo avr\u00e0 una resistenza pari alla resistivit\u00e0 del materiale per lo spessore radiale infinitesimo divisa per la superficie laterale del cilindro:<\/p>\n

1) dR = ρ dr\u00a0\/ 2\u00a0π r s<\/font><\/strong><\/p>\n

Integrando la 1) da ri<\/sub><\/font><\/font> <\/strong>(raggio interno di una generica corona cicolare) a re<\/sub><\/font><\/font><\/strong> (raggio esterno) <\/strong>otterremo:<\/p>\n

2) R(ri <\/sub>, re<\/sub>) = (ρ \/ 2\u00a0π s) ln (re<\/sub> \/ ri<\/sub>)<\/font><\/strong><\/p>\n

Dove ln<\/font><\/strong> sta per logaritmo naturale.\u00a0Facendo quindi tendere ri<\/sub><\/font><\/font><\/strong> a zero, come richiesto in quanto il “centro del disco” \u00e8 un punto matematico, si ottiene una resistenza infinita.<\/p>\n

\n

Il significato di questo risultato sta nel fatto che un contatto (centrale o no)\u00a0e’ critico, <\/em>nel senso che, variando anche di poco l’impronta della spazzola sul disco, data l’elevata densit\u00e0 di corrente, si ottengono variazioni molto grandi della resistenza totale. In altre parole, l’area di contatto NON pu\u00f2 essere considerata puntiforme. Se invece il contatto \u00e8 fatto, come si dovrebbe, con una spazzola di sezione circolare, possiamo considerare il raggio della spazzola stessa come ri<\/sub><\/font><\/font><\/strong>, almeno come ordine di grandezza. Come spero si capisca, la criticit\u00e0 intrinseca del problema non consente di procedere oltre.<\/p>\n

Se qualcuno restasse ancora un po’ scettico di fronte a questo risultato infinito, cercher\u00f2 di convincerlo con un metodo che assomiglia a quello classicissimo di Zenone, mentre ne \u00e8 l’esatto opposto:<\/p>\n

Immaginiamo la resistenza (tra superficie cilindrica interna e quella esterna) di una corona circolare fatta della stessa lamina, ma con raggio esterno uguale a quello della lamina data e quello interna esattamente met\u00e0 e chiamiamola R1. <\/strong><\/font><\/p>\n

Consideriamo ora la corona circolare ad essa simile, ma in essa inscritta. Essa avr\u00e0 met\u00e0 raggio esterno e met\u00e0 raggio interno di quella precedente. La sua resistenza R2<\/strong><\/font> sar\u00e0 uguale a R1<\/strong><\/font> in quanto la sezione \u00e8 met\u00e0 cos\u00ec come la differenza tra i raggi.<\/p>\n

Ne consegue, iterando il procedimento che Rn<\/strong><\/font> sar\u00e0 sempre uguale a R1<\/strong><\/font> comunque grande facciamo n<\/strong><\/font>. E’ altres\u00ec evidente che le varie corone vadano considerate “in serie” tra loro e, di conseguenza, la resistenza totale sar\u00e0 la somma delle singole resistenze. Facendo tendere n<\/strong><\/font> a infinito, la resistenza totale tender\u00e0 a infinito, mentre la somma delle infinite corone tender\u00e0 al cerchio completo.<\/p>\n

Insomma un contatto puntiforme o comunque, nel mondo reale, piccolo o, per\u00a0meglio dire,\u00a0di area indeterminata \u00e8 critico e pu\u00f2 generare densit\u00e0 di corrente pericolose e cadute di tensione che \u00e8 difficile prevedere.<\/p>\n

Del resto, chiunque guardi le spazzole di un motore elettrico reale pu\u00f2 facilmente vedere come esse siano disposte in modo da rendere la superficie di contatto pi\u00f9 estesa possibile. Nella maggior parte dei casi (con collettori ben rettificati) l’usura \u00e8 sufficiente a formare una superficie ben appoggiata. Dove la superficie dovesse essere particolarmente grande per le forti correnti in gioco, la singola spazzola viene frazionata in elementi multipli, ognuno sospinto dalla sua molla indipendente.<\/p>\n\n\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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