{"id":2724,"date":"2006-10-20T00:00:00","date_gmt":"2006-10-19T22:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"2724","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/2724\/","title":{"rendered":"Cosa sono le equazioni diofantee e come si risolvono? grazie Federico"},"content":{"rendered":"

Un’equazione diofantea (lineare) classica \u00e8 un’equazione della forma ax+by=c, con a,b,c numeri interi. Lo scopo \u00e8 quello di cercare soluzioni intere dell’equazione data.<\/p>\n

Lemma: <\/span>Condizione necessaria affinch\u00e8 l’equazione ax+by=c abbia soluzioni intere \u00e8 che MCD(a,b)|c. (con MCD denoto il massimo comun divisore mentre con\u00a0 | denoto il simbolo “divide”, ovvero la divisione\u00a0\u00e8 senza resto).<\/p>\n

Dimostrazione: <\/span>Supponiamo che ax+by=c abbia soluzioni intere; allora , posto d=MCD(a,b), si ha che d|(ax+by) per ogni x,y interi, per cui d|c.<\/p>\n

Teorema: <\/span>Sia data l’equazione diofantea ax+by=c, e sia MCD(a,b)|c; allora l’equazione data ha soluzione e tutte le soluzioni sono date da x=x0<\/sub>+kβ, y=y0<\/sub>-kα, dove (x0<\/sub>,y0<\/sub>) \u00e8 una soluzione particolare, k varia in Z<\/span>, mentre <\/p>\n

α=a\/ MCD(a,b) e β=b\/ MCD(a,b).<\/p>\n
Dimostrazione: <\/span>Sia d=MCD(a,b); per ipotesi d|c per cui esistono x1<\/sub> e y1 <\/sub>interi tali che ax1<\/sub>+by1<\/sub>=d.\u00a0 Ora d|a, d|b e d|c per cui a=dα, b=dβ e c=dγ; allora a(x1<\/sub>γ)+b(y1<\/sub>γ)=c, per cui (x1<\/sub> γ,y1<\/sub> γ) \u00e8 una soluzione particolare dell’equazione data. Poniamo quindi x0<\/sub>= x1<\/sub> γ e y0<\/sub>=y1<\/sub> γ. Si verifica subito che x=x0<\/sub>+kβ, y=y0<\/sub>-kα sono ancora soluzioni; infatti <\/p>\n
ax+by=a(x0<\/sub>+kβ)+b(y0<\/sub>-kα)=ax0<\/sub>+by0<\/sub>+dαkβ-dβkα=c.<\/p>\n
L’ultima cosa che resta da dimostrare \u00e8 che tutte le soluzioni sono in questa forma. Sia\u00a0 x,y una soluzione; allora ax+by=c da cui\u00a0αx+βy=γ e αx0<\/sub>+βy0<\/sub>=γ, da cui <\/p>\n
α(x-x0<\/sub>)=β(y0<\/sub> -y). \u00a0 (1)<\/p>\n
Osserviamo che MCD(α,β)=1, per cui α|(y0<\/sub>-y) e β|(x-x0<\/sub>). Dunque si ha y0<\/sub>-y=αk e x-x0<\/sub>=hβ, con h,k interi. Sostituendo nella (1) si trova subito k=h, da cui la conclusione.<\/p>\n

Osservazione: <\/span>La teoria fornita dal Teorema precedente si applica tutte le volte che MCD(a,b)=1.<\/p>\n

Esempio: <\/span>L’equazione diofantea 2x+6y=7 non ammette soluzione, essendo MCD(2,6)=2 che non divide 7.
Esempio: <\/span>L’equazione diofantea x-5y=4 ammette infinite soluzioni date dal Teorema; una soluzione particolare \u00e8 x=9, y=1, per cui tutte le soluzioni saranno date da x=9-5k e y=1-k, al variare di k in Z<\/span>.
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