{"id":2723,"date":"2006-10-20T00:00:00","date_gmt":"2006-10-19T22:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"2723","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/2723\/","title":{"rendered":"Come si dimostra il teorema di unicit\u00e0 del limite?"},"content":{"rendered":"<p>Il passaggio al limite \u00e8 una operazione analitica effettuabile su funzioni, ma non \u00e8 sempre possibile. Nel caso in cui il limite esista, spesso \u00e8 anche unico, almeno negli spazi &#8220;buoni&#8221; come <span style=\"font-weight: bold;\">R<\/span> o <span style=\"font-weight: bold;\">R<\/span><sup>n<\/sup>. Per semplicit\u00e0 ci mettiamo in <span style=\"font-weight: bold;\">R <\/span>(l&#8217;idea della dimostrazione in altri casi non cambia). <\/p>\n<p>Richiamiamo anzitutto la definizione di limite:<\/p>\n<p><span style=\"font-weight: bold;\">Definizione: <\/span>Sia f : (a,b) &#8594; <span style=\"font-weight: bold;\">R<\/span> una funzione, e sia c &#8712;(a,b); si dice che f ha limite L per x che tende a c e si scrive <\/p>\n<div style=\"text-align: center;\">lim<sub>x&#8594;c<\/sub> f(x)=L<\/p>\n<div style=\"text-align: left;\">se per ogni &#949;&gt;0 esiste &#948;&gt;0 tale che per ogni x &#8712;(a,b) con 0&lt;|x-c|&lt;&#948; si abbia |f(x)-L|&lt;&#949;.<\/p>\n<p>Supponiamo ora che esistano due limiti L<sub>1<\/sub> ed L<sub>2<\/sub> entrambi per f e per x che tende a c; allora si ha<br \/>1)  per ogni &#949;&gt;0 esiste &#948;<sub>1<\/sub>&gt;0 tale che per ogni x &#8712;(a,b) con 0&lt;|x-c|&lt;&#948;<sub>1<\/sub> si abbia |f(x)-L<sub>1<\/sub>|&lt;&#949;;<br \/>2)  per ogni &#949;&gt;0 esiste &#948;<sub>2<\/sub>&gt;0 tale che per ogni x &#8712;(a,b) con 0&lt;|x-c|&lt;&#948;<sub>2 <\/sub>si abbia |f(x)-L<sub>2<\/sub>|&lt;&#949;.<br \/>Sia &#948;&gt;0 il valore pi\u00f9 piccolo tra &#948;<sub>1<\/sub> e &#948;<sub>2<\/sub>; allora per ogni x &#8712;(a,b) con 0&lt;|x-c|&lt;&#948; si ha:<\/p>\n<div style=\"text-align: center;\">|L<sub>1<\/sub>-L<sub>2<\/sub>|=|L<sub>1<\/sub>-f(x)+f(x)-L<sub>2<\/sub>| &#8804; |f(x)-L<sub>1<\/sub>| + |f(x)-L<sub>2<\/sub>| &#8804; 2&#949;,<\/p>\n<div style=\"text-align: left;\">da cui L<sub>1<\/sub>=L<sub>2<\/sub> per l&#8217;arbitrariet\u00e0 di &#949;&gt;0.<br type=\"_moz\"\/><\/div>\n<\/div>\n<p><br type=\"_moz\"\/><\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>[&#8230;]<\/p>\n","protected":false},"author":228,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[66],"tags":[],"class_list":["post-2723","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-analisi-matematica"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2723","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/users\/228"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2723"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2723\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2723"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2723"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2723"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}