{"id":2722,"date":"2006-10-20T00:00:00","date_gmt":"2006-10-19T22:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"2722","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/2722\/","title":{"rendered":"Leggendo alcuni articoli ho visto che sia numeri che matrici vengono considerati degli enti matematici, sottoponibili allo stesso tipo di operazioni, con opportune limitazioni. Cos\u00ec come ha senso elevare una matrice a un numero reale, perch\u00e9 non esiste anche una elevazione con esponente matriciale?"},"content":{"rendered":"<p>Anzitutto va detto che molte cose in Matematica possono aver senso, ma non \u00e8 per niente detto che abbiano anche utilit\u00e0. <\/p>\n<p>Nella fattispecie della domanda un&#8217;operazione di elevamento a potenza con esponente matriciale esiste, \u00e8 definita, e utilizzata in teoria delle equazioni differenziali ordinarie; in particolare si tratta di una operazione della forma x<sup>A<\/sup> dove x \u00e8 un numero reale strettamente positivo. Infatti basta ricordare lo sviluppo in serie di e<sup>x<\/sup>, dato da<\/p>\n<div style=\"text-align: center;\">e<sup>x<\/sup>=&#8721;<sub>n<\/sub> x<sup>n<\/sup>\/ n!<\/p>\n<div style=\"text-align: left;\">per definire in modo analogo, per ogni matrice A, <\/p>\n<div style=\"text-align: center;\">e<sup>A<\/sup>=&#8721;<sub>n<\/sub> A<sup>n<\/sup>\/ n!<\/p>\n<div style=\"text-align: left;\">Una volta definito l&#8217;esponenziale di una matrice con base e (che gode delle stesse propriet\u00e0 dell&#8217;esponenziale di un numero reale) il gioco \u00e8 fatto; infatti basta ricordare che per ogni x&gt;0 si ha<\/p>\n<div style=\"text-align: center;\">x<sup>y<\/sup>=e<sup>ylogx<\/sup>, per ogni y reale.<br type=\"_moz\"\/><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p>Mangiamo la foglia e definiamo quindi <\/p>\n<div style=\"text-align: center;\"> x<sup>A<\/sup>=e<sup>Alogx<\/sup>.<\/p>\n<div style=\"text-align: left;\">Le propriet\u00e0 dell&#8217;esponenziale di matrici sono ovviamente le stesse. <\/p>\n<p>Un altro modo per interpretare la domanda sarebbe quello di tentare di definire un&#8217;operazione della forma A<sup>B<\/sup> dove A e B sono due matrici; questo tipo di operazione non \u00e8 oggi utilizzata, n\u00e8 definita sui comuni testi di Matematica (almeno che io conosca); un tentativo potrebbe essere <\/p>\n<div style=\"text-align: center;\">A<sup>B<\/sup>=e<sup>BlogA<\/sup><br type=\"_moz\"\/><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div style=\"text-align: left;\">ma sorge il problema di definire il logaritmo di una matrice: se e<sup>C<\/sup>=A, allora verrebbe voglia di dire che C=logA. Ma l&#8217;esponenziale di matrice con base e \u00e8 un&#8217;applicazione invertibile? Ricordiamo che logx \u00e8 definito solo per x&gt;0, quindi sembrerebbe sensato dare delle condizioni alla matrice A per rendere lecito scrivere logA, ma quali condizioni? <br \/>La problematica non \u00e8 quindi banale; non essendoci letteratura in proposito (che io conosca) posso solo dire che con ogni probabilit\u00e0 quest&#8217;ultimo modo di operare con le matrici non \u00e8 un&#8217;operazione che riveste una scarsa utilit\u00e0 per la Matematica di oggi. <\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>[&#8230;]<\/p>\n","protected":false},"author":228,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[65],"tags":[],"class_list":["post-2722","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-algebra"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2722","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/users\/228"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2722"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2722\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2722"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2722"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2722"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}